Se f(x)=a x, mostre que f(x)+f(1-x)=f(1). Verifique também que f(x1+x2)= f(x1)+f(x2), para todos x1, x2 in R.

Passo 1

O enunciado define uma função linear f(x)=a x e pede para mostrarmos duas propriedades de somas envolvendo f: primeiro que f(x)+f(1−x)=f(1) e depois que f(x₁+x₂)=f(x₁)+f(x₂). Vamos usar a definição de f e propriedades básicas de soma e distributividade.

Passo 2

Para a primeira propriedade, calculamos:
f(x)+f(1-x)=a x + a(1-x)=a x + a - a x = a
Como f(1)=a·1=a, concluímos que f(x)+f(1-x)=f(1) para todo x.

Passo 3

Para a segunda propriedade, tomamos quaisquer x₁,x₂∈ℝ e fazemos:
f(x1+x2)=a(x1+x2)=a x1+a x2=f(x1)+f(x2)
Assim, f é aditiva, o que mostra a segunda igualdade.

Resposta

As duas igualdades valem para todo x,x₁,x₂∈ℝ: f(x)+f(1−x)=f(1) e f(x₁+x₂)=f(x₁)+f(x₂).

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