Se
, mostre que
. Verifique também que
, para todos
.
Passo 1
O enunciado define uma função linear f(x)=a x e pede para mostrarmos duas propriedades de somas envolvendo f: primeiro que f(x)+f(1−x)=f(1) e depois que f(x₁+x₂)=f(x₁)+f(x₂). Vamos usar a definição de f e propriedades básicas de soma e distributividade.
Passo 2
Para a primeira propriedade, calculamos:
Como f(1)=a·1=a, concluímos que f(x)+f(1-x)=f(1) para todo x.
Passo 3
Para a segunda propriedade, tomamos quaisquer x₁,x₂∈ℝ e fazemos:
Assim, f é aditiva, o que mostra a segunda igualdade.
Resposta
As duas igualdades valem para todo x,x₁,x₂∈ℝ: f(x)+f(1−x)=f(1) e f(x₁+x₂)=f(x₁)+f(x₂).