Encontre o valor das expressões:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado\n
- Calcular a expressão
.\n - Informação implícita:
é a função cosseno e é a função seno (vou usar a notação padrão quando aparecer em fórmulas). - Pedido explícito: encontrar o valor numérico exato dessa expressão.
Passo 2
Propriedades básicas que vamos usar (explicadas de forma simples)\n
- Paridade das funções trigonométricas:
(ou seja, o cosseno é uma função par: mudar o sinal do ângulo não muda o valor);\n
(ou seja, o seno é uma função ímpar: trocar o sinal do ângulo inverte o sinal do valor).\n
- Periodicidade: as funções seno e cosseno têm período
, isto é,
para qualquer inteiro
. Isso permite reduzir ângulos grandes para um ângulo “equivalente” dentro de um intervalo como
ou
.\n
Vou aplicar essas duas ideias diretamente aos ângulos dados.
Vou aplicar essas duas ideias diretamente aos ângulos dados.
Passo 3
Aplicar a paridade para simplificar os sinais\n
- Para o primeiro termo:
- Para o segundo termo (repare que estamos subtraindo
):
Portanto a expressão original fica
Passo 4
Reduzir o ângulo
usando a periodicidade\n
- Escrever
como soma de um múltiplo de e um ângulo menor:\n
, porque .\n - Como
tem período , e é múltiplo de , vale
(Explicando: somar ou subtrair
não altera o cosseno; aqui subtraímos
para ficar com
.)
Passo 5
Avaliar
\n
- Ângulo
corresponde a . No triângulo retângulo isósceles , os catetos são iguais e a hipotenusa tem comprimento vezes um cateto, então as coordenadas do ponto na circunferência unitária são .\n - Assim
Passo 6
Avaliar
\n
- Ângulo
corresponde a . No círculo trigonométrico esse ponto tem coordenadas , portanto
Passo 7
Juntar os resultados e concluir\n
- Substituindo nas expressões obtidas:
- Interpretando: o primeiro termo é aproximadamente
e o segundo é , então o resultado fica aproximadamente , mas o valor exato e preferível é .