Encontre o valor das expressões:
\cos \left(-\frac{17 \pi}{4}\right)-\operatorname{sen}\left(-\frac{3 \pi}{2}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado\n
  • Calcular a expressão \cos\left(-\dfrac{17\pi}{4}\right)-\operatorname{sen}\left(-\dfrac{3\pi}{2}\right).\n
  • Informação implícita: \cos é a função cosseno e \operatorname{sen} é a função seno (vou usar a notação padrão \sin quando aparecer em fórmulas).
  • Pedido explícito: encontrar o valor numérico exato dessa expressão.

Passo 2

Propriedades básicas que vamos usar (explicadas de forma simples)\n
  • Paridade das funções trigonométricas:
\cos(-\theta)=\cos(\theta)
(ou seja, o cosseno é uma função par: mudar o sinal do ângulo não muda o valor);\n
\sin(-\theta)=-\sin(\theta)
(ou seja, o seno é uma função ímpar: trocar o sinal do ângulo inverte o sinal do valor).\n
  • Periodicidade: as funções seno e cosseno têm período 2\pi, isto é,
\cos(\theta+2k\pi)=\cos(\theta),\qquad \sin(\theta+2k\pi)=\sin(\theta)
para qualquer inteiro k. Isso permite reduzir ângulos grandes para um ângulo “equivalente” dentro de um intervalo como [0,2\pi) ou [-\pi,\pi).\n
Vou aplicar essas duas ideias diretamente aos ângulos dados.

Passo 3

Aplicar a paridade para simplificar os sinais\n
  • Para o primeiro termo:
\cos\left(-\dfrac{17\pi}{4}\right)=\cos\left(\dfrac{17\pi}{4}\right).
  • Para o segundo termo (repare que estamos subtraindo \operatorname{sen}(-\tfrac{3\pi}{2})):
\operatorname{sen}\left(-\dfrac{3\pi}{2}\right)=\sin\left(-\dfrac{3\pi}{2}\right)=-\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}\right).
Portanto a expressão original fica
\cos\left(\dfrac{17\pi}{4}\right)-\operatorname{sen}\left(-\dfrac{3\pi}{2}\right) = \cos\left(\dfrac{17\pi}{4}\right)-\bigl(-\sin\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)\bigr) = \cos\left(\dfrac{17\pi}{4}\right)+\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}\right).

Passo 4

Reduzir o ângulo \dfrac{17\pi}{4} usando a periodicidade\n
  • Escrever \dfrac{17\pi}{4} como soma de um múltiplo de 2\pi e um ângulo menor:\n
    \dfrac{17\pi}{4}=4\pi+\dfrac{\pi}{4}, porque 4\pi=\dfrac{16\pi}{4}.\n
  • Como \cos tem período 2\pi, e 4\pi é múltiplo de 2\pi, vale
\cos\left(\dfrac{17\pi}{4}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right).
(Explicando: somar ou subtrair 2\pi não altera o cosseno; aqui subtraímos 4\pi para ficar com \tfrac{\pi}{4}.)

Passo 5

Avaliar \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\n
  • Ângulo \dfrac{\pi}{4} corresponde a 45^\circ. No triângulo retângulo isósceles 45^\circ\!-\!45^\circ\!-\!90^\circ, os catetos são iguais e a hipotenusa tem comprimento \sqrt{2} vezes um cateto, então as coordenadas do ponto na circunferência unitária são \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right).\n
  • Assim
\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 6

Avaliar \sin\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)\n
  • Ângulo \dfrac{3\pi}{2} corresponde a 270^\circ. No círculo trigonométrico esse ponto tem coordenadas (0,-1), portanto
\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)=-1.

Passo 7

Juntar os resultados e concluir\n
  • Substituindo nas expressões obtidas:
\cos\left(\dfrac{17\pi}{4}\right)+\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)+(-1) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}-1.
  • Interpretando: o primeiro termo é aproximadamente 0{,}7071 e o segundo é -1, então o resultado fica aproximadamente -0{,}2929, mas o valor exato e preferível é \dfrac{\sqrt{2}}{2}-1.

Resposta

\dfrac{\sqrt{2}}{2}-1

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