Se f(x)=raizx^3+4 x, calcule f^prime(1).

Passo 1

No enunciado, temos a função f(x)=raizx^3+4x e a missão é calcular f'(1). O conteúdo principal aqui é derivada de função composta, usando regra da cadeia, e derivadas de polinômios.

Passo 2

Reescrevendo a raiz como potência, fica f(x)=(x^3+4x)^1/2. Pela regra da cadeia, se f(x)=u(x)^1/2 então
f'(x)=u'(x)2,u(x)^1/2
Aqui definimos u(x)=x^3+4x, cuja derivada é u'(x)=3x^2+4. Logo:
f'(x)=3x^2+42raizx^3+4x

Passo 3

Para encontrar f'(1), basta substituir x=1 na expressão de f'(x):
f'(1)=3cdot1^2+42raiz1^3+4cdot1=72raiz5
Se quisermos racionalizar o denominador, multiplicamos numerador e denominador por raiz5, obtendo tfrac7raiz510.

Resposta

72raiz5

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