Determine e classifique os pontos críticos da função:
f(x, y)=x^3+y^3-3 x y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar e classificar os pontos críticos da função $ f(x, y) = x^{3} + y^{3} - 3xy $. Isso envolve usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar esses pontos. Vamos precisar encontrar onde as derivadas parciais são iguais a zero e depois analisar essas soluções para ver se são máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $. As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando mudamos uma variável enquanto mantemos a outra fixa.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
f
E a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ é:
x

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
3x^2 - 3y = 0 3y^2 - 3x = 0
Vamos simplificar as equações dividindo por 3:
x^2 - y = 0 y^2 - x = 0
Agora, da primeira equação, temos $ y = x^{2} $. Vamos substituir isso na segunda equação:
y = x^2
(x^2)^2 - x = x^4 - x = 0
Isso nos dá duas soluções para $ x $:
  1. $ x = 0 $
  2. $ x^{3} - 1 = 0 $ ⇒ $ x = 1 $
Então, para $ x = 0 $:
x(x^3 - 1) = 0
Ponto crítico: $ (0, 0) $
Para $ x = 1 $:
x
Ponto crítico: $ (1, 1) $

Passo 4

Agora, vamos classificar esses pontos críticos usando o teste da segunda derivada. Precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 6x
fyy = partial^2 fpartial y^2 = 6y
fxy = partial^2 fpartial x partial y = -3

Passo 5

Com essas segundas derivadas, montamos a matriz Hessiana:
H = fxx & fxy fxy & fyy = 6x & -3 -3 & 6y
Calculamos o determinante da Hessiana:
D = fxx cdot fyy - (fxy)^2 = (6x)(6y) - (-3)^2 = 36xy - 9

Passo 6

Vamos avaliar o determinante $ D $ em cada ponto crítico:
  1. Ponto $ (0, 0) $:
D
Como $ D < 0 $, esse ponto é um ponto de sela.
  1. Ponto $ (1, 1) $:
(0, 0)
Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} = 6(1) = 6 > 0 $, esse ponto é um mínimo local.

Resposta

Os pontos críticos são $ (0, 0) $, que é um ponto de sela, e $ (1, 1) $, que é um mínimo local.

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