Determine e classifique os pontos críticos da função:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar e classificar os pontos críticos da função $ f(x, y) = x^{3} + y^{3} - 3xy $. Isso envolve usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar esses pontos. Vamos precisar encontrar onde as derivadas parciais são iguais a zero e depois analisar essas soluções para ver se são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $. As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando mudamos uma variável enquanto mantemos a outra fixa.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
E a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ é:
Passo 3
Para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Vamos simplificar as equações dividindo por 3:
Agora, da primeira equação, temos $ y = x^{2} $. Vamos substituir isso na segunda equação:
Isso nos dá duas soluções para $ x $:
- $ x = 0 $
- $ x^{3} - 1 = 0 $ ⇒ $ x = 1 $
Então, para $ x = 0 $:
Ponto crítico: $ (0, 0) $
Para $ x = 1 $:
Ponto crítico: $ (1, 1) $
Passo 4
Agora, vamos classificar esses pontos críticos usando o teste da segunda derivada. Precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
Passo 5
Com essas segundas derivadas, montamos a matriz Hessiana:
Calculamos o determinante da Hessiana:
Passo 6
Vamos avaliar o determinante $ D $ em cada ponto crítico:
- Ponto $ (0, 0) $:
Como $ D < 0 $, esse ponto é um ponto de sela.
- Ponto $ (1, 1) $:
Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} = 6(1) = 6 > 0 $, esse ponto é um mínimo local.
Resposta
Os pontos críticos são $ (0, 0) $, que é um ponto de sela, e $ (1, 1) $, que é um mínimo local.