f(x)=\frac{\cos (3 \pi x)}{\sqrt{x-1}} \rightarrow Calcular f^{\prime}(2)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{\cos(3\pi x)}{\sqrt{x-1}}
e pede a derivada em x=2. O conteúdo aqui é derivada de produto (ou quociente), já que podemos escrever f como produto de duas funções: uma parte (x-1)^{-1/2} e outra \cos(3\pi x).

Passo 2

Escrevemos
u(x)=(x-1)^{-1/2}, \quad v(x)=\cos(3\pi x),
de modo que
f(x)=u(x)\,v(x).

Passo 3

Calculamos as derivadas de cada parte:
u'(x) = -\tfrac12\,(x-1)^{-3/2},
v'(x) = -\sin(3\pi x)\,\bigl(3\pi\bigr).

Passo 4

Pelo produto,
f'(x) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x) = -\tfrac12\,(x-1)^{-3/2}\cos(3\pi x) -3\pi\,(x-1)^{-1/2}\sin(3\pi x).

Passo 5

Agora avaliamos em x=2. Observamos que x-1=1, \cos(3\pi\cdot2)=\cos(6\pi)=1 e \sin(6\pi)=0. Logo,
f'(2) = -\tfrac12\cdot1\cdot1 \;-\;3\pi\cdot1\cdot0 = -\tfrac12.

Resposta

f'(2) = -\tfrac12.

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