Exercício 3 Dado 0, determine uma forma polar dos seguintes número complexo
z=1+cos theta+i sen theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a forma polar do número complexo $ z = 1 + \cos \theta + i \sin \theta $, onde $ 0 < \theta < \pi $. Para isso, vamos usar conceitos de números complexos na forma polar, que envolvem encontrar o módulo e o argumento do número complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer número complexo $ z = a + b i $ pode ser escrito na forma polar como $ z = r (\cos \phi + i \sin \phi) $, onde:
  • $ r $ é o módulo de $ z $, dado por $ r = \sqrt{a^2 + b^2} $.
  • $ \phi $ é o argumento de $ z $, que é o ângulo formado com o eixo real.
No nosso caso, $ a = 1 + \cos \theta $ e $ b = \sin \theta $.

Passo 3

Vamos calcular o módulo $ r $ primeiro:
r
Vamos expandir e simplificar isso:
r = raiz(1 + cos theta)^2 + (sin theta)^2
Então:
(1 + cos theta)^2 = 1 + 2 cos theta + cos^2 theta
Sabemos que $ \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 $, então:
r = raiz1 + 2 cos theta + cos^2 theta + sin^2 theta
Podemos fatorar 2:
cos^2 theta + sin^2 theta = 1
E usando a identidade $ 1 + \cos \theta = 2 \cos^2 \left( \frac{\theta}{2} \right) $:
r = raiz1 + 2 cos theta + 1 = raiz2 + 2 cos theta = raiz2(1 + cos theta)

Passo 4

Agora, vamos encontrar o argumento $ \phi $ de $ z $. O argumento é dado por:
phi
Usando a identidade trigonométrica $ \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \tan \left( \frac{\theta}{2} \right) $, temos:
z
Então, o argumento $ \phi $ é $ \frac{\theta}{2} $.

Passo 5

Juntando o módulo $ r $ e o argumento $ \phi $, a forma polar de $ z $ fica:
r

Resposta

A forma polar de $ z = 1 + \cos \theta + i \sin \theta $ é:
z = 1 + cos theta + i sin theta

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