Exercício 3 Dado
, determine uma forma polar dos seguintes número complexo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a forma polar do número complexo $ z = 1 + \cos \theta + i \sin \theta $, onde $ 0 < \theta < \pi $. Para isso, vamos usar conceitos de números complexos na forma polar, que envolvem encontrar o módulo e o argumento do número complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer número complexo $ z = a + b i $ pode ser escrito na forma polar como $ z = r (\cos \phi + i \sin \phi) $, onde:
- $ r $ é o módulo de $ z $, dado por $ r = \sqrt{a^2 + b^2} $.
- $ \phi $ é o argumento de $ z $, que é o ângulo formado com o eixo real.
No nosso caso, $ a = 1 + \cos \theta $ e $ b = \sin \theta $.
Passo 3
Vamos calcular o módulo $ r $ primeiro:
Vamos expandir e simplificar isso:
Então:
Sabemos que $ \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 $, então:
Podemos fatorar 2:
E usando a identidade $ 1 + \cos \theta = 2 \cos^2 \left( \frac{\theta}{2} \right) $:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o argumento $ \phi $ de $ z $. O argumento é dado por:
Usando a identidade trigonométrica $ \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \tan \left( \frac{\theta}{2} \right) $, temos:
Então, o argumento $ \phi $ é $ \frac{\theta}{2} $.
Passo 5
Juntando o módulo $ r $ e o argumento $ \phi $, a forma polar de $ z $ fica:
Resposta
A forma polar de $ z = 1 + \cos \theta + i \sin \theta $ é: