Se f(x)=e^x, use o polinômio de Taylor P9(x) de f em x0=0 para aproximar e, e estime o erro cometido na aproximação.

Passo 1

O problema pede para aproximar o valor de e = e^1 usando o polinômio de Taylor de ordem 9 de f(x)=e^x em torno de x0=0. Vamos aplicar a série de Taylor e depois estimar o erro pelo resto de Lagrange.

Passo 2

Para f(x)=e^x, todas as derivadas são f^(n)(x)=e^x. O polinômio de Taylor de grau 9 em torno de 0 é dado por
P9(x)=sumk=0^9x^kk!

Passo 3

Substituindo x=1 em P9, temos
P9(1)=1+1+tfrac12+tfrac16+tfrac124+tfrac1120+tfrac1720+tfrac15040+tfrac140320+tfrac1362880
Somando esses termos passo a passo, obtemos aproximadamente 2.71828153.

Passo 4

O resto de Lagrange para a aproximação é
R9(1)=f^(10)(c)10!cdot1^10
para algum cin(0,1). Como f^(10)(c)=e^c e e^c<= e, segue que
|R9(1)|<=e10!

Passo 5

Calculando 10!=3628800, obtemos o limite
|R9(1)|<=e3628800approx7.5times10^-7

Resposta

Aproximação: P9(1)approx2.71828153. Estimativa de erro: |R9(1)|<=e10!approx7.5times10^-7.

Exercícios relacionados