Se f(x)=x+1x-1, determine Dom(f) e calcule: (f circ f circ f)((x+1)^2)

Passo 1

O enunciado define a função racional f(x)=x+1x-1. O conteúdo envolve domínio de funções racionais e composição de funções, reconhecendo que às vezes a composição de uma função consigo mesma pode ser a identidade. Vamos usar a definição de domínio (denominador ≠ 0) e a definição de composição de funções.

Passo 2

Para achar o domínio de f, exigimos o denominador ≠ 0. Ou seja,
x-1neq0
Portanto Dom(f)=Rsetminus1

Passo 3

Agora calculamos fcirc f. Pela definição,
f(f(x))=fl(x+1x-1r)
O numerador fica:
x+1x-1+1=(x+1)+(x-1)x-1=2xx-1
O denominador fica:
x+1x-1-1=(x+1)-(x-1)x-1=2x-1
Logo
f(f(x))=2xx-12x-1=x,
com a restrição implícita xneq1. Portanto f(f(x))=x.
Isso mostra que f é involutiva, ou seja fcirc f=id. Logo
fcirc fcirc f=fcirc id=f

Passo 4

Portanto
(fcirc fcirc f)l((x+1)^2r)=fl((x+1)^2r)
Calculando
fl((x+1)^2r)=(x+1)^2+1(x+1)^2-1=x^2+2x+2x^2+2x
Para que essa expressão exista, precisamos de (x+1)^2-1neq0, ou seja (x+1)^2neq1 xneq0 e xneq-2.

Resposta

Dom(f)=Rsetminus1 e
(fcirc fcirc f)l((x+1)^2r)=x^2+2x+2x^2+2x, xneq0,-2

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