As inversas das funções hiperbolicas são definidas por:
somente se,
.
Passo 1
O problema pede para encontrar uma expressão fechada para a inversa da função hiperbólica tangente, ou seja, para sabendo que . Vamos usar a definição de em termos de exponenciais para isolar
.
Passo 2
A definição de em termos de exponenciais é:
Partindo de , igualamos:
Multiplicamos numerador e denominador por
para eliminar a parte negativa do expoente:
Agora cruzamos o denominador:
Passo 3
Distribuímos o
no lado direito:
Isolamos os termos com
e fatoramos
:
Passo 4
Dividimos por
e aplicamos logaritmo natural: