As inversas das funções hiperbolicas são definidas por: y=ar>gh(x) se, e somente se, tgh(y)=x.

Passo 1

O problema pede para encontrar uma expressão fechada para a inversa da função hiperbólica tangente, ou seja, para sabendo que . Vamos usar a definição de em termos de exponenciais para isolar y=ar>gh(x).

Passo 2

A definição de em termos de exponenciais é:

Partindo de , igualamos:
tgh(y)
Multiplicamos numerador e denominador por tgh(y)=e^y - e^-ye^y + e^-y para eliminar a parte negativa do expoente:
tgh(y)=x
Agora cruzamos o denominador:
e^y - e^-ye^y + e^-y = x

Passo 3

Distribuímos o x no lado direito:
e^2y - 1 = x e^2y + x
Isolamos os termos com e^2y num lado:
e^2y - x e^2y = x + 1
e fatoramos e^2y:
e^2y(1 - x) = 1 + x

Passo 4

Dividimos por (1-x) e aplicamos logaritmo natural:
e^2y = 1+x1-x,
2y = lnl(1+x1-xr),
y = 12lnl(1+x1-xr)

Resposta

Exercícios relacionados