Verifique: argsenh(raizx^2-1)=argcosh(x), se x>1

Passo 1

Enunciado: Precisamos verificar que argsenh(raizx^2-1)=argcosh(x) para x>1. O conteúdo principal envolve funções hiperbólicas inversas e propriedades de logaritmos naturais.

Passo 2

Definição de argsenh(u): lembramos que
argsenh(u)=lnl(u+raizu^2+1r)

Passo 3

Aplicando em u=raizx^2-1: substituímos na definição
argsenh(raizx^2-1)=lnl(raizx^2-1+raiz(raizx^2-1)^2+1r)

Passo 4

Simplificando o segundo radical:
(raizx^2-1)^2+1=x^2-1+1=x^2,
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argsenh(raizx^2-1)=lnl(raizx^2-1+raizx^2r)

Passo 5

Como x>1, temos raizx^2=x. Assim
argsenh(raizx^2-1)=lnl(raizx^2-1+xr)

Passo 6

Definição de argcosh(x):
argcosh(x)=lnl(x+raizx^2-1r)

Passo 7

Concluímos que ambos os lados coincidem, pois
lnl(raizx^2-1+xr)=lnl(x+raizx^2-1r)

Resposta

A igualdade é verdadeira para x>1, pois ambos os lados equivalem a ln(x+raizx^2-1).

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