Verifique que: ar>gh(x)=ln (raizx+11-x),|x|<1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que ar>gh(x)=lnl(raiztfracx+11-xr) para |x|<1. O conteúdo aqui é a função inversa da tangente hiperbólica e vamos precisar lembrar a definição de tanh(y) e como resolver a equação tanh(y)=x.

Passo 2

Seja y=ar>gh(x). Por definição de função inversa temos
tanh(y)=x
Lembrando que
tanh(y)=e^y - e^-ye^y + e^-y,
vamos resolver para y: multiplicando ambos os lados por (e^y+e^-y) fica
x,(e^y+e^-y)=e^y - e^-y
Em seguida, multiplica-se toda a equação por e^y para eliminar o termo e^-y:
x,(e^2y+1)=e^2y-1
Reagrupando termos que contêm e^2y e isolando-os, obtemos
e^2y(1 - x)=x + 1
e, portanto,
e^2y=x+11-x

Passo 3

Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados surge
2y=lnl(tfracx+11-xr)
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y=12lnl(tfracx+11-xr)
Como ln(A^1/2)=tfrac12ln(A) e, para |x|<1, o argumento de ln é positivo, concluímos
y=lnl(raiztfracx+11-xr)
Portanto, fica verificado que ar>gh(x)=lnl(raiztfracx+11-xr).

Resposta

ar>gh(x)=lnl(raiztfracx+11-xr)

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