Para f(x)=x^{3}-3 x^{2}-x+3 :
Determine intervalos de crescimento e decrescimento.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os intervalos em que a função
f(x)=x^{3}-3x^{2}-x+3
é crescente ou decrescente. Vamos usar o teste da derivada: lembrando que uma função é crescente quando f'(x)>0 e decrescente quando f'(x)<0.

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}-3x^{2}-x+3\bigr) =3x^{2}-6x-1.

Passo 3

Determinamos os pontos críticos resolvendo f'(x)=0:
3x^{2}-6x-1=0.
Pela fórmula de Bhaskara,
x=\frac{6\pm\sqrt{(-6)^{2}-4\cdot3\cdot(-1)}}{2\cdot3} =\frac{6\pm\sqrt{36+12}}{6} =\frac{6\pm\sqrt{48}}{6} =\frac{6\pm4\sqrt{3}}{6} =1\pm\frac{2\sqrt{3}}{3}.
Chamemos
x_{1}=1-\frac{2\sqrt{3}}{3}, \quad x_{2}=1+\frac{2\sqrt{3}}{3}.

Passo 4

Analisamos o sinal de f'(x)=3x^{2}-6x-1 nos intervalos (-\infty,x_{1}), (x_{1},x_{2}) e (x_{2},\infty):
  • Para x<x_{1}, por exemplo x=-1, temos
f'(-1)=3\cdot(-1)^{2}-6\cdot(-1)-1=3+6-1=8>0,
logo f'(x)>0 em (-\infty,x_{1}).
  • Para x_{1}<x<x_{2}, por exemplo x=1, temos
f'(1)=3-6-1=-4<0,
logo f'(x)<0 em (x_{1},x_{2}).
  • Para x>x_{2}, como o termo quadrático domina positivamente, fica f'(x)>0 em (x_{2},\infty).

Passo 5

Com base no sinal de f', concluímos:
  • f é crescente quando f'(x)>0, ou seja em
(-\infty,\,1-\tfrac{2\sqrt{3}}{3}) \quad\text{e}\quad \bigl(1+\tfrac{2\sqrt{3}}{3},\infty\bigr).
  • f é decrescente quando f'(x)<0, ou seja em
\bigl(1-\tfrac{2\sqrt{3}}{3},\,1+\tfrac{2\sqrt{3}}{3}\bigr).

Resposta

A função é crescente em
(-\infty,\,1-\tfrac{2\sqrt{3}}{3}) \quad\text{e}\quad \bigl(1+\tfrac{2\sqrt{3}}{3},\infty\bigr),
e é decrescente em
\bigl(1-\tfrac{2\sqrt{3}}{3},\,1+\tfrac{2\sqrt{3}}{3}\bigr).

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