1. Dada f(x)=-2 x^{4}+8 x^{2} : determine vértice, concavidade e gráfico aproximado de -2 \leq x \leq 2.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = -2x^{4} + 8x^{2},
pede para achar o “vértice” (isto é, o extremo global), estudar a concavidade e esboçar o gráfico para -2 \le x \le 2. Vamos usar derivadas para localizar máximos, mínimos, pontos de inflexão e sinal de f''(x).

Passo 2

Reescrevemos f como uma parábola em u = x^{2}:
f(x) = g(u),\quad g(u) = -2u^{2} + 8u,\quad u\ge0.
O vértice de g(u) ocorre em
u_{v} = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2\cdot(-2)} = 2,
com valor
g(2) = -2\cdot2^{2} + 8\cdot2 = -8 + 16 = 8.
Logo, x^{2}=2 dá os extremos de f, ou seja, x = \pm\sqrt{2} e f(\pm\sqrt{2}) = 8.

Passo 3

Calculamos a derivada primeira para achar pontos críticos:
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(-2x^{4} + 8x^{2}\bigr) = -8x^{3} + 16x = -8x(x^{2}-2).
As raízes de f'(x)=0 são
x = 0,\quad x = \pm\sqrt{2}.

Passo 4

Para a concavidade usamos a segunda derivada:
f''(x) = \frac{d}{dx}\bigl(-8x^{3} + 16x\bigr) = -24x^{2} + 16 = 16 - 24x^{2}.
Temos concavidade para cima se f''(x)>0, isto é,
16 - 24x^{2} > 0 \iff x^{2} < \frac{2}{3},
e concavidade para baixo se x^{2} > \tfrac{2}{3}. Os pontos de inflexão estão em
x = \pm\sqrt{\tfrac{2}{3}},\quad f\bigl(\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}}\bigr) = -2\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^{2} + 8\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr) = \frac{40}{9}.

Passo 5

avaliamos f nos pontos relevantes:
f(0) = 0,\quad f(\pm\sqrt{2}) = 8,\quad f(\pm2) = -2\cdot16 + 8\cdot4 = 0.
Classificação:
  • x=0 é mínimo local ( f'(x) muda de negativo para positivo).
  • x=\pm\sqrt{2} são máximos globais em [-2,2].
  • Nas extremidades x=\pm2 o valor é zero.

Passo 6

Esboço aproximado para -2\le x\le2:
  • Simetria par (eixo y).
  • Grandes características: zeros em -2,0,2; máximos em \pm\sqrt{2} com f=8; inflexões em \pm\sqrt{2/3} com f=40/9\approx4{,}44.
  • Concava para baixo em |x|>\sqrt{2/3} e para cima em |x|<\sqrt{2/3}.
    Desenhando, a curva sai de ( -2,0) subindo (côncava para baixo) até (-\sqrt{2},8), depois vira até (-\sqrt{2/3},40/9) e torna côncava para cima até (0,0); espelha-se para x>0.

Resposta

Vértice (máximos) em \bigl(\pm\sqrt{2},\,8\bigr); concavidade para cima em \lvert x\rvert<\sqrt{\tfrac{2}{3}} e para baixo em \lvert x\rvert>\sqrt{\tfrac{2}{3}}; gráfico simétrico com zeros em -2,0,2, máximos em \pm\sqrt{2} e inflexões em \pm\sqrt{\tfrac{2}{3}}.

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