- Dada
: determine vértice, concavidade e gráfico aproximado de
.
Passo 1
O enunciado dá a função
pede para achar o “vértice” (isto é, o extremo global), estudar a concavidade e esboçar o gráfico para
. Vamos usar derivadas para localizar máximos, mínimos, pontos de inflexão e sinal de
.
Passo 2
Reescrevemos
como uma parábola em
:
O vértice de
ocorre em
com valor
Logo,
dá os extremos de
, ou seja,
e
.
Passo 3
Calculamos a derivada primeira para achar pontos críticos:
As raízes de
são
Passo 4
Para a concavidade usamos a segunda derivada:
Temos concavidade para cima se
, isto é,
e concavidade para baixo se
. Os pontos de inflexão estão em
Passo 5
avaliamos
nos pontos relevantes:
Classificação:
-
é mínimo local ( muda de negativo para positivo). -
são máximos globais em . - Nas extremidades
o valor é zero.
Passo 6
Esboço aproximado para
:
- Simetria par (eixo
). - Grandes características: zeros em
; máximos em com ; inflexões em com . - Concava para baixo em
e para cima em .
Desenhando, a curva sai desubindo (côncava para baixo) até , depois vira até e torna côncava para cima até ; espelha-se para .
Resposta
Vértice (máximos) em
; concavidade para cima em
e para baixo em
; gráfico simétrico com zeros em
, máximos em
e inflexões em
.