(a) F(x, y)=0;
(b) F(x, y, z)=0;
© F(x, y, z)=0=G(x, y, z);
(d) Exemplifique cada caso acima.

Passo 1

O enunciado pede para classificarmos geometrias definidas de forma implícita e, depois, dar um exemplo concreto para cada caso. O conteúdo envolve funções de várias variáveis e noções de dimensão de conjuntos de nível.

Passo 2

Uma equação do tipo F(x,y)=0, com duas variáveis, define implicitamente uma curva no plano ℝ². Aqui usamos a ideia de conjunto de nível de uma função de duas variáveis, cuja dimensão é 1.

Passo 3

Uma equação do tipo F(x,y,z)=0, com três variáveis, define implicitamente uma superfície em ℝ³. Nesse caso o conjunto de nível tem dimensão 2.

Passo 4

Duas equações simultâneas em três variáveis, F(x,y,z)=0 e G(x,y,z)=0, definem a interseção de duas superfícies em ℝ³. Geralmente essa interseção é uma curva (dimensão 1).

Passo 5

Agora damos exemplos para cada caso: • Para (a), a circunferência de raio 1 no plano:
F(x,y)=x^2+y^2-1=0
• Para (b), a esfera de raio 1 em ℝ³:
F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1=0
• Para ©, a curva de interseção entre a mesma esfera e o plano z=y:
F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1=0,
G(x,y,z)=z-y=0

Resposta

a) F(x,y)=0 define uma curva no plano. Exemplo:
x^2+y^2-1=0
b) F(x,y,z)=0 define uma superfície em ℝ³. Exemplo:
x^2+y^2+z^2-1=0
c) F(x,y,z)=0=G(x,y,z) define uma curva em ℝ³ como interseção de duas superfícies. Exemplo:
x^2+y^2+z^2-1=0,
z-y=0

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