(a)
;
(b)
;
©
;
(d) Exemplifique cada caso acima.
(b)
©
(d) Exemplifique cada caso acima.
Passo 1
O enunciado pede para classificarmos geometrias definidas de forma implícita e, depois, dar um exemplo concreto para cada caso. O conteúdo envolve funções de várias variáveis e noções de dimensão de conjuntos de nível.
Passo 2
Uma equação do tipo F(x,y)=0, com duas variáveis, define implicitamente uma curva no plano ℝ². Aqui usamos a ideia de conjunto de nível de uma função de duas variáveis, cuja dimensão é 1.
Passo 3
Uma equação do tipo F(x,y,z)=0, com três variáveis, define implicitamente uma superfície em ℝ³. Nesse caso o conjunto de nível tem dimensão 2.
Passo 4
Duas equações simultâneas em três variáveis, F(x,y,z)=0 e G(x,y,z)=0, definem a interseção de duas superfícies em ℝ³. Geralmente essa interseção é uma curva (dimensão 1).
Passo 5
Agora damos exemplos para cada caso: • Para (a), a circunferência de raio 1 no plano:
• Para (b), a esfera de raio 1 em ℝ³:
• Para ©, a curva de interseção entre a mesma esfera e o plano z=y:
Resposta
a) F(x,y)=0 define uma curva no plano. Exemplo:
b) F(x,y,z)=0 define uma superfície em ℝ³. Exemplo:
c) F(x,y,z)=0=G(x,y,z) define uma curva em ℝ³ como interseção de duas superfícies. Exemplo: