Faça o que se pede:
Dados a=72 e b =56. Encontre d in Z tal que Zd=Za+Zb, em seguida, determine r, s in Z, tais que d=ar+bs

Passo 1

O enunciado pede para achar um inteiro d tal que Z·d = Z·a + Z·b, com a = 72 e b = 56, e em seguida exibir d como combinação linear de a e b. O conteúdo envolve ideais em Z (soma de ideais) e o Teorema de Bézout, que diz que Z·a + Z·b = Z·
mdc(a,b) e que existem r, s tais que mdc(a,b)=a·r+b·s.

Passo 2

Vamos calcular mdc(72,56) pelo Algoritmo de Euclides:
72 = 1cdot56 + 16,
56 = 3cdot16 + 8,
16 = 2cdot8 + 0
O último resto não nulo é 8, logo mdc(72,56)=8. Portanto Z·72 + Z·56 = Z·8, isto é, d = 8.

Passo 3

Agora usamos o Algoritmo de Euclides Estendido para achar r e s tais que 8 = 72·r + 56·s. Da segunda linha do cálculo:
8 = 56 - 3cdot16
Mas da primeira linha temos:
16 = 72 - 1cdot56
Substituindo em 8:
8 = 56 - 3(72 - 56) = -3cdot72 + 4cdot56
Logo podemos escolher r = -3 e s = 4.

Resposta

d = 8, r = -3, s = 4

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