Verdadeiro (V) ou Falso (F). Prove as verdadeiras e dê um contra-exemplo para as falsas.
Se I1, I2, ldots, Ir são ideais de Z então I1+I2+ldots+Ir=x1+x2+ldots+xr ; xj in Ij, j=1,2,3, ldots, r é um ideal de Z

Passo 1

O enunciado diz que, dadas alguns ideais I1, I2, dots, Ir do anel Z, definimos
I1+I2+dots+Ir=x1+cdots+xr:;xjin Ij
e queremos provar que esse conjunto também é um ideal de Z. Vamos usar teoria de grupos abelianos (subgrupo sob +) e a propriedade de fechamento por multiplicação externa.

Passo 2

Primeiro mostramos que I1+cdots+Ir é um subgrupo aditivo de Z. (1) O zero está lá: basta escolher cada xj=0in Ij, então a soma 0+0+cdots+0=0. (2) Fechamento: dadas
a=x1+cdots+xr e b=y1+cdots+yr em I1+cdots+Ir, seus somas são
a+b=(x1+y1)+cdots+(xr+yr), e como cada Ij é ideal, xj+yjin Ij. Logo a+bin I1+cdots+Ir. (3) Inverso: para
a=x1+cdots+xr, temos
-a=(-x1)+cdots+(-xr), e cada -xjin Ij porque Ij é subgrupo aditivo.

Passo 3

Agora faltam as propriedades de absorção por Z. Tome qualquer minZ e
a=x1+cdots+xrin I1+cdots+Ir. Então
m,a = m,x1 + cdots + m,xr e como cada Ij é ideal temos m,xjin Ij. Logo
m,ain I1+cdots+Ir. (O mesmo vale para a,m em anéis não necessariamente comutativos.)

Passo 4

Juntando tudo, vimos que I1+cdots+Ir é subgrupo aditivo de Z e fecha sob multiplicação pelo anel, portanto é um ideal.

Resposta

Verdadeiro

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