Verdadeiro (V) ou Falso (F). Prove as verdadeiras e dê um contra-exemplo para as falsas.
Se
são ideais de
então
é um ideal de Z
Se
Passo 1
O enunciado diz que, dadas alguns ideais
do anel
, definimos
e queremos provar que esse conjunto também é um ideal de . Vamos usar teoria de grupos abelianos (subgrupo sob +) e a propriedade de fechamento por multiplicação externa.
e queremos provar que esse conjunto também é um ideal de
Passo 2
Primeiro mostramos que
é um subgrupo aditivo de
. (1) O zero está lá: basta escolher cada
, então a soma
. (2) Fechamento: dadas
e
em
, seus somas são
, e como cada
é ideal,
. Logo
. (3) Inverso: para
, temos
, e cada
porque
é subgrupo aditivo.
Passo 3
Agora faltam as propriedades de absorção por
. Tome qualquer
e
. Então
e como cada
é ideal temos
. Logo
. (O mesmo vale para
em anéis não necessariamente comutativos.)
Passo 4
Juntando tudo, vimos que
é subgrupo aditivo de
e fecha sob multiplicação pelo anel, portanto é um ideal.
Resposta
Verdadeiro