Verifique a convergência das seguintes séries
sumn=1^infty 2 nn^4+1 (utilize o critério da integral)

Passo 1

Temos a série sumn=1^infty2nn^4+1. O conteúdo principal é testar a convergência usando o critério da integral imprópria, ou seja, associar a série à integral integral1^inftyf(x),dx.

Passo 2

Definimos a função f(x)=2xx^4+1 para x>=1. Vemos que f(x) é positiva e contínua nesse intervalo. Para aplicar o teste da integral, ainda precisamos garantir que f(x) seja decrescente:
f'(x)=(2)(x^4+1)-2xcdot4x^3(x^4+1)^2 =2-6x^4(x^4+1)^2 <0(x>=1)

Passo 3

Assim, f(x) satisfaz as hipóteses do teste da integral.

Passo 4

Agora avaliamos a integral imprópria:
integral1^infty2xx^4+1,dx
Fazendo a substituição u=x^2, temos du=2x,dx e os limites vão de u=1 a utoinfty. A integral vira
integral1^inftyduu^2+1 =l[arctan(u)r]1^infty =pi2-pi4=pi4

Passo 5

Como a integral converge (dá um valor finito), pelo critério da integral imprópria concluímos que a série também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty2nn^4+1 é convergente pelo critério da integral.

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