Verifique a convergência das seguintes séries
(utilize o critério da integral)
Passo 1
Temos a série
. O conteúdo principal é testar a convergência usando o critério da integral imprópria, ou seja, associar a série à integral
.
Passo 2
Definimos a função
para
. Vemos que
é positiva e contínua nesse intervalo. Para aplicar o teste da integral, ainda precisamos garantir que
seja decrescente:
Passo 3
Assim,
satisfaz as hipóteses do teste da integral.
Passo 4
Agora avaliamos a integral imprópria:
Fazendo a substituição
, temos
e os limites vão de
a
. A integral vira
Passo 5
Como a integral converge (dá um valor finito), pelo critério da integral imprópria concluímos que a série também converge.
Resposta
A série
é convergente pelo critério da integral.