Uma massa de 2 kg tem um comprimento natural de 0,5m. Uma força de 25,6 N é necessária para mantê-la esticada a um comprimento de
. Se esta mola for esticada para um comprimento de
e então solta com velocidade inicial zero, determine a posição da massa em qualquer tempo
.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o que precisamos para resolver. Temos uma massa de 2 kg ligada a uma mola que, quando está em seu comprimento natural de 0,5 metros, não está esticada. A força necessária para esticar essa mola até 0,7 metros é de 25,6 N. Queremos descobrir a posição dessa massa em qualquer tempo $ t $ quando a mola é esticada até 0,9 metros e depois solta com velocidade inicial zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Lei de Hooke e Movimento Harmônico Simples (MHS).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a constante elástica da mola, que é representada por $ k $ na Lei de Hooke. A fórmula da Lei de Hooke é:
Onde:
- $ F $ é a força aplicada,
- $ \Delta x $ é a deformação da mola (quanto ela foi esticada ou comprimida),
- $ k $ é a constante elástica que queremos encontrar.
Sabemos que uma força de 25,6 N estica a mola de 0,5 m (comprimento natural) para 0,7 m, então a deformação $ \Delta x $ é:
Substituindo os valores na equação:
Resolvendo para $ k $:
Passo 3
Agora que temos a constante elástica $ k = 128,N/m $, vamos analisar o movimento da massa. Quando a mola é esticada até 0,9 metros, a deformação total é:
Mas a posição de equilíbrio já está esticada em 0,2 metros (como vimos anteriormente). Então, o deslocamento adicional a partir do equilíbrio é:
Aqui, $ A $ representa a amplitude do movimento, que é a máxima distância que a massa se move a partir da posição de equilíbrio.
Passo 4
Para determinar a posição da massa em qualquer tempo $ t $, usamos a fórmula do Movimento Harmônico Simples (MHS):
Onde:
- $ x(t) $ é a posição em função do tempo,
- $ A $ é a amplitude (0,2 m),
- $ \omega $ é a frequência angular,
- $ x_{eq} $ é a posição de equilíbrio (0,7 m).
Primeiro, precisamos encontrar $ \omega $, que é dada por:
Substituindo os valores:
Resposta
A posição da massa em qualquer tempo $ t $ é dada por: