© Por que o teorema de Schwarz não se aplica nesse caso?
Passo 1
A função é dada por
queremos entender por que o Teorema de Schwarz (igualdade das derivadas mistas) não vale aqui. Isso envolve classe de diferenciabilidade e continuidade das derivadas de segunda ordem.
Passo 2
O Teorema de Schwarz afirma que se uma função é
num entorno de um ponto (ou seja, todas as derivadas parciais de segunda ordem são contínuas nesse entorno), então as derivadas mistas são iguais naquele ponto:
Passo 3
Para aplicar o teorema seria preciso que
e
fossem contínuas num vizinhança de
. No entanto, ao calcular essas derivadas na origem via limite nota-se que elas existem mas não coincidem. Por exemplo, usando a definição de derivada parcial cruzada em zero, encontra-se:
Passo 4
Como as duas derivadas mistas não são iguais em
, elas não podem ser contínuas num entorno desse ponto. Logo, a hipótese de continuidade das derivadas de segunda ordem, exigida pelo Teorema de Schwarz, não está satisfeita.
Passo 5
Portanto, não podemos aplicar o Teorema de Schwarz porque
não é de classe
numa vizinhança de
; as derivadas parciais de segunda ordem não são contínuas lá.
Resposta
O Teorema de Schwarz não se aplica porque as derivadas parciais de segunda ordem de
não são contínuas num entorno de
(as derivadas mistas existem mas são desiguais na origem), violando a hipótese de continuidade necessária para o teorema.