f(x, y)=cc x^3 y-x y^3x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
© Por que o teorema de Schwarz não se aplica nesse caso?

Passo 1

A função é dada por
f(x,y)=x^3y-xy^3x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0)0,&(x,y)=(0,0)
queremos entender por que o Teorema de Schwarz (igualdade das derivadas mistas) não vale aqui. Isso envolve classe de diferenciabilidade e continuidade das derivadas de segunda ordem.

Passo 2

O Teorema de Schwarz afirma que se uma função é C^2 num entorno de um ponto (ou seja, todas as derivadas parciais de segunda ordem são contínuas nesse entorno), então as derivadas mistas são iguais naquele ponto:
partial^2fpartial xpartial y= partial^2fpartial ypartial x

Passo 3

Para aplicar o teorema seria preciso que partial^2f/partial xpartial y e partial^2f/partial ypartial x fossem contínuas num vizinhança de (0,0). No entanto, ao calcular essas derivadas na origem via limite nota-se que elas existem mas não coincidem. Por exemplo, usando a definição de derivada parcial cruzada em zero, encontra-se:
partial^2fpartial ypartial x(0,0)=1 e partial^2fpartial xpartial y(0,0)=-1

Passo 4

Como as duas derivadas mistas não são iguais em (0,0), elas não podem ser contínuas num entorno desse ponto. Logo, a hipótese de continuidade das derivadas de segunda ordem, exigida pelo Teorema de Schwarz, não está satisfeita.

Passo 5

Portanto, não podemos aplicar o Teorema de Schwarz porque f não é de classe C^2 numa vizinhança de (0,0); as derivadas parciais de segunda ordem não são contínuas lá.

Resposta

O Teorema de Schwarz não se aplica porque as derivadas parciais de segunda ordem de f não são contínuas num entorno de (0,0) (as derivadas mistas existem mas são desiguais na origem), violando a hipótese de continuidade necessária para o teorema.

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