f(x, y)=cl x yx^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)
(a) Determine partial fpartial x, partial fpartial y, e verifique se f é de classe C^1.
(b) Mostre que f não é contínua em (0,0).

Passo 1

Resumo: A função é definida por
f(x,y)=xyx^2+y^2&(x,y)neq(0,0)0&(x,y)=(0,0)
Queremos as derivadas parciais, ver se é C¹, e mostrar que não é contínua em (0,0). Vamos usar regras de derivação de quociente e o cálculo de limite em caminhos.

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0), aplicamos a regra do quociente: se f(x,y)=u(x,y)v(x,y) com u=xy e v=x^2+y^2, então
partial fpartial x=partialxucdot v - ucdot partialxvv^2 =y(x^2+y^2) - xycdot 2x(x^2+y^2)^2 =y^3 - x^2y(x^2+y^2)^2
e
partial fpartial y=x(x^2+y^2) - xycdot 2y(x^2+y^2)^2 =x^3 - xy^2(x^2+y^2)^2

Passo 3

No ponto (0,0), usamos a definição:
partial fpartial x(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto00-0h=0,
e de forma análoga
partial fpartial y(0,0)=0

Passo 4

Para ser de classe C^1 precisamos que f e suas derivadas parciais sejam contínuas. Já vimos que as derivadas parciais existem em todo R^2, mas falta verificar continuidade em (0,0).

Passo 5

Mostramos agora que f não é contínua em (0,0) seguindo o caminho y=x:
f(x,x)=xcdot xx^2+x^2=x^22x^2=12(xneq0)
Como lim(x,x)to(0,0)f(x,x)=1/2neq f(0,0)=0, a função não é contínua em (0,0).

Resposta

(a) Para (x,y)neq(0,0):
$$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{y^3 - x2y}{(x2+y2)2},\qquad\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{x^3 - xy2}{(x2+y2)2}.
partial fpartial x(x,y)=y^3 - x^2y(x^2+y^2)^2,partial fpartial y(x,y)=x^3 - xy^2(x^2+y^2)^2 \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0,\qquad\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0.
$$
Como (0,0) não é contínua em partial fpartial x(0,0)=0,partial fpartial y(0,0)=0 , ela não é de classe f em todo (0,0) (é C¹ apenas em C^1).
(b) Escolhendo R^2, obtemos R^2setminus(0,0) para y=x, logo f(x,x)=1/2, e assim xneq0 não é contínua em lim(x,x)to(0,0)f(x,x)=1/2neq0=f(0,0).

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