(a) Determine
, e verifique se
é de classe
.
(b) Mostre que
não é contínua em
.
(b) Mostre que
Passo 1
Resumo: A função é definida por
Queremos as derivadas parciais, ver se é C¹, e mostrar que não é contínua em (0,0). Vamos usar regras de derivação de quociente e o cálculo de limite em caminhos.
Passo 2
Para
, aplicamos a regra do quociente: se
com
e
, então
e
Passo 3
No ponto
, usamos a definição:
e de forma análoga
Passo 4
Para ser de classe
precisamos que
e suas derivadas parciais sejam contínuas. Já vimos que as derivadas parciais existem em todo
, mas falta verificar continuidade em
.
Passo 5
Mostramos agora que
não é contínua em
seguindo o caminho
:
Como
, a função não é contínua em
.
Resposta
(a) Para
:
$$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{y^3 - x2y}{(x2+y2)2},\qquad\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{x^3 - xy2}{(x2+y2)2}.
$$
Como não é contínua em
, ela não é de classe
em todo
(é C¹ apenas em
).
(b) Escolhendo , obtemos
para
, logo
, e assim
não é contínua em
.
Como
(b) Escolhendo