Calcule
integral duplaP sin (4 x^2+9 y^2) d A
onde P é a região delimitada pela elipse 4 x^2+9 y^2=1.

Passo 1

A questão pede para calcular a integral dupla integral duplaPsinl(4x^2+9y^2r),dA, onde P é a elipse dada por 4x^2+9y^2=1. O conteúdo principal aqui é mudança de variáveis para transformar a elipse num círculo e uso de coordenadas polares.

Passo 2

Para simplificar a região, fazemos a mudança de variáveis u=2x e v=3y. Assim a elipse 4x^2+9y^2=1 vira u^2+v^2=1. O Jacobiano dessa transformação é J=partial(x,y)partial(u,v)=16, então dA=16,du,dv. Além disso, 4x^2+9y^2=u^2+v^2.
Agora a integral vira integral duplau^2+v^2<=1sin(u^2+v^2)16,du,dv

Passo 3

Em seguida, usamos coordenadas polares u=rcostheta, v=rsintheta, com 0<= r<=1 e 0<=theta<=2pi. Lembrando que du,dv=r,dr,dtheta, a integral fica
16integral0^2piintegral0^1sin(r^2),r,dr,dtheta

Passo 4

Para a parte radial, note que integral0^1sin(r^2),r,dr pode ser resolvida por s=r^2, ds=2r,dr, logo
integral0^1sin(r^2),r,dr=12integral0^1sin(s),ds=12l[-cos sr]0^1=1-cos12

Passo 5

Substituindo de volta, a integral completa é
16cdot2picdot1-cos12=pi6(1-cos1)

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{6}\bigl(1-\cos1\bigr)

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