Calcule
onde
é a região delimitada pela elipse
.
Passo 1
A questão pede para calcular a integral dupla
, onde
é a elipse dada por
. O conteúdo principal aqui é mudança de variáveis para transformar a elipse num círculo e uso de coordenadas polares.
Passo 2
Para simplificar a região, fazemos a mudança de variáveis
e
. Assim a elipse
vira
. O Jacobiano dessa transformação é
, então
. Além disso,
.
Agora a integral vira
Passo 3
Em seguida, usamos coordenadas polares
,
, com
e
. Lembrando que
, a integral fica
Passo 4
Para a parte radial, note que
pode ser resolvida por
,
, logo
Passo 5
Substituindo de volta, a integral completa é
Resposta
\displaystyle \frac{\pi}{6}\bigl(1-\cos1\bigr)