Sabendo que f: R R é derivável e que f(0)=1, f(1)=1, f(2)=-1, podemos afirmar que:
Existe x entre 1 e 2 tal que f^prime(x)=-1

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma função $ f $ que é derivável em todos os números reais e que sabemos os valores de $ f $ em alguns pontos: $ f(0) = 1 $, $ f(1) = 1 $ e $ f(2) = -1 $. O conteúdo que vamos usar aqui envolve o Teorema do Valor Médio e propriedades das derivadas. Precisamos determinar se existe um número $ x $ entre 1 e 2 tal que a derivada de $ f $ nesse ponto, $ f’(x) $, é igual a $ -1 $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema do Valor Médio. Ele afirma que se uma função é contínua em um intervalo fechado [a, b] e derivável no intervalo aberto (a, b), então existe pelo menos um ponto $ c \in (a, b) $ onde a derivada $ f’© $ é igual à inclinação da reta secante que liga os pontos c in (a, b) e f'(c) .

Passo 3

Vamos aplicar esse teorema no intervalo de 1 a 2. Temos $ f(1) = 1 $ e $ f(2) = -1 $. A inclinação da reta secante entre esses dois pontos é:
f(1) = 1
Então, pelo Teorema do Valor Médio, existe algum $ c \in (1, 2) $ tal que $ f’© = -2 $.

Passo 4

Mas o exercício pede para saber se existe um $ x $ onde $ f’(x) = -1 $. Para isso, vamos pensar nas propriedades das derivadas. Mesmo que a derivada $ f’ $ não seja necessariamente contínua, as derivadas têm uma propriedade chamada Propriedade de Darboux, que é como um Teorema do Valor Médio para derivadas: elas satisfazem o Teorema do Valor Médio Intermediário.

Passo 5

A Propriedade de Darboux nos diz que se uma derivada toma dois valores diferentes em dois pontos, então ela também deve tomar todos os valores intermediários entre esses dois pontos. No nosso caso, sabemos que entre 0 e 1 a derivada tem um valor de 0 (porque $ f(0) = 1 $ e $ f(1) = 1 $), e entre 1 e 2 temos $ f’© = -2 $.

Passo 6

Assim, entre essas duas regiões, a derivada de $ f $ deve passar por todos os valores entre 0 e -2. Isso inclui o valor $ -1 $. Portanto, deve existir algum ponto $ x $ entre 1 e 2 onde $ f’(x) = -1 $.

Resposta

Sim, existe um número $ x $ entre 1 e 2 tal que $ f’(x) = -1 $.

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