f(x, y)=cl x5+c y, & 0á
(a) Encontre o valor de c.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado é o seguinte:
Temos uma densidade conjunta
f(x,y)= dfracx5+c,y, & 0á
E a parte (a) pede para encontrar o valor de .
Isso é um exercício de Probabilidade, mais precisamente de densidade conjunta de duas variáveis contínuas. O que precisamos lembrar é que toda densidade tem de integrar sobre todo o domínio. Para isso vamos usar cálculo de integrais duplas bem básicas.

Passo 2

A teoria: se integral duplaR^2 f(x,y),dx,dy = 1 é densidade conjunta, então
No nosso caso, só precisamos integrar sobre e , porque fora disso .

Passo 3

Escrevendo a integral dupla:
integralx=0^1integraly=1^5l(x5+c,yr),dy,dx ;=;1
Vamos primeiro integrar em integral1^5x5,dy = x5,(5-1) = 4x5, :
integral1^5c,y,dy = c;y^22g|1^5 = cl(252-12r) =12c
4x5 + 12c
Então, para cada , o resultado da integração em é

Passo 4

Agora integramos em integral0^1l(4x5 + 12cr),dx = integral0^14x5,dx ;+;integral0^112c,dx de 0 a 1:
integral0^14x5,dx = 45,x^22g|0^1 = 45cdot12 = 25,
Calculemos cada parte:
integral0^112c,dx = 12c,(1-0) =12c
25 + 12c = 1
Somando:

Passo 5

Só falta isolar 12c = 1 - 25 = 55 - 25 = 35, :
c = 3/512 = 35cdot112 = 360 = 120

Resposta

c = 120

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