(a)
e
são independentes?
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede. A função dada é a densidade de probabilidade conjunta
O assunto é variáveis aleatórias contínuas e, em especial, a independência entre duas variáveis
e
. Para verificar independência, precisamos:
- lembrar a definição de independência para densidades contínuas,
- calcular as densidades marginais
e , - checar se
.
Passo 2
Vamos lembrar a teoria:
- Definição de variável contínua independente:
e são independentes se e somente se, para todo , - A densidade marginal de
é e, de modo análogo,
Passo 3
Calcular
:
Para ,
Para
Para
, como a densidade conjunta é zero fora de
, temos
.
Logo,
Logo,
Passo 4
Calcular
:
Mesma ideia, mas integrando em :
Para ,
Mesma ideia, mas integrando em
Para
E para
dá zero. Então
Passo 5
Agora a gente compara:
$$
f_X(x),f_Y(y)
\bigl(e{-x}\bigr)\bigl(e{-y}\bigr)
= e^{-(x+y)},
= e^{-(x+y)},
$$
para e
. Isso bate exatamente com a densidade conjunta
.
para
Resposta
Sim,
e
são independentes, pois
para todos os
.