f(x, y)=l e^-(x+y), x>0, y>0 0, caso contrário á
(a) X e Y são independentes?

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede. A função dada é a densidade de probabilidade conjunta
f(x, y)= e^-(x+y), & x>0,; y>0, 0, & caso contrário á
O assunto é variáveis aleatórias contínuas e, em especial, a independência entre duas variáveis e . Para verificar independência, precisamos:
  1. lembrar a definição de independência para densidades contínuas,
  2. calcular as densidades marginais e ,
  3. checar se .

Passo 2

Vamos lembrar a teoria:
  • Definição de variável contínua independente: f(x,y) = fX(x),fY(y) e fX(x) = integral-infty^infty f(x,y),dy, são independentes se e somente se, para todo fY(y) = integral-infty^infty f(x,y),dx ,
  • A densidade marginal de é e, de modo análogo,

Passo 3

Calcular fX(x) = integral-infty^infty f(x,y),dy = integral0^infty e^-(x+y),dy = e^-xintegral0^infty e^-y,dy = e^-xl[ -e^-y r]0^infty = e^-x(0 - (-1)) = e^-x :
Para fX(x) = e^-x, & x>0, 0, & caso contrário ,
Para , como a densidade conjunta é zero fora de , temos .
Logo,
á

Passo 4

Calcular fY(y) = integral-infty^infty f(x,y),dx = integral0^infty e^-(x+y),dx = e^-yintegral0^infty e^-x,dx = e^-y :
Mesma ideia, mas integrando em fY(y) = e^-y, & y>0, 0, & caso contrário :
Para ,
E para dá zero. Então
á

Passo 5

Agora a gente compara:
$$
f_X(x),f_Y(y)

\bigl(e{-x}\bigr)\bigl(e{-y}\bigr)
= e^{-(x+y)},
$$
para fX(x),fY(y) = l(e^-xr)l(e^-yr) = e^-(x+y), e . Isso bate exatamente com a densidade conjunta .

Resposta

Sim, e são independentes, pois para todos os .

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