f(x, y)=cl x e^-x(y+1), & x>0, y>0 0, & caso contrário á
(a) Encontre as marginais de X e Y.

Passo 1

Beleza! A gente tem uma densidade conjunta
f(x,y)= x,e^-x(y+1),&x>0,;y>0, 0,&caso contrário á
O assunto aqui é variáveis contínuas e densidade de probabilidade. Para sacar as “marginais” a gente vai “integrar” a outra variável. Ou seja:
  • Para achar integral0^inftye^-a,t,dt=1a, a>0, , integrar integral0^inftyt,e^-a,t,dt=1a^2 em .
  • Para achar , integrar em .
    Precisamos lembrar como integrar exponenciais e também usar a fórmula
e (se precisar) a integral

Passo 2

Vamos achar fX(x)=integral-infty^inftyf(x,y),dy =integral0^inftyx,e^-x(y+1),dy, . Por definição:
fX(x)=x,e^-xintegral0^inftye^-x,y,dy
porque fora de fX(x)=x,e^-xcdot1x=e^-x, x>0 a densidade é zero. Agora:
  1. Factorizamos que não depende de :
  2. Usamos (com ):

Passo 3

Agora fY(y)=integral-infty^inftyf(x,y),dx =integral0^inftyx,e^-x(y+1),dx , integrando em fY(y) =1(y+1)^2, y>0 :
Aqui podemos usar a integral
com . Logo:

Resposta

Portanto as marginais são
boxedfX(x)=e^-x,; x>0 e fY(y)=1(y+1)^2,; y>0

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