(a) Encontre as marginais de
e
.
Passo 1
Beleza! A gente tem uma densidade conjunta
O assunto aqui é variáveis contínuas e densidade de probabilidade. Para sacar as “marginais” a gente vai “integrar” a outra variável. Ou seja:
- Para achar
, integrar em . - Para achar
, integrar em .
Precisamos lembrar como integrar exponenciais e também usar a fórmula
e (se precisar) a integral
Passo 2
Vamos achar
. Por definição:
porque fora de
a densidade é zero. Agora:
- Factorizamos
que não depende de : - Usamos
(com ):
Passo 3
Agora
, integrando em
:
Aqui podemos usar a integral
com
. Logo:
Resposta
Portanto as marginais são