- Se
for uma função diferenciável de
e
e se a reta
for uma curva de nível de
, então
com quaisquer números reais
.
Passo 1
Temos uma função diferenciável f(x,y) cuja curva de nível inclui a reta y = x. Isso significa que ao longo de y=x a função f permanece constante. Para provar a relação entre as derivadas parciais, vamos usar derivação de função composta (Regra da Cadeia).
Passo 2
Como y = x é curva de nível, existe uma constante C tal que f(t,t) = C para todo t∈ℝ. Ou seja, a função composta g(t)=f(t,t) é constante.
Passo 3
Derivando g(t) em relação a t, como g(t)=C, obtemos
Passo 4
Pela Regra da Cadeia, ao diferenciar f(t,t) temos
Passo 5
Igualando ao resultado da derivada de g(t) e resolvendo, vem
e portanto
Resposta
f_y(t,t) = -f_x(t,t) para todo t real.