1. Se f(x, y) for uma função diferenciável de x e y e se a reta y=x for uma curva de nível de f, então fy(t, t)=-fx(t, t) com quaisquer números reais t.

Passo 1

Temos uma função diferenciável f(x,y) cuja curva de nível inclui a reta y = x. Isso significa que ao longo de y=x a função f permanece constante. Para provar a relação entre as derivadas parciais, vamos usar derivação de função composta (Regra da Cadeia).

Passo 2

Como y = x é curva de nível, existe uma constante C tal que f(t,t) = C para todo t∈ℝ. Ou seja, a função composta g(t)=f(t,t) é constante.

Passo 3

Derivando g(t) em relação a t, como g(t)=C, obtemos
ddtf(t,t)=0

Passo 4

Pela Regra da Cadeia, ao diferenciar f(t,t) temos
ddtf(t,t)=fx(t,t)cdotddt(t)+fy(t,t)cdotddt(t)=fx(t,t)+fy(t,t)

Passo 5

Igualando ao resultado da derivada de g(t) e resolvendo, vem
fx(t,t)+fy(t,t)=0
e portanto
fy(t,t)=-fx(t,t)

Resposta

f_y(t,t) = -f_x(t,t) para todo t real.

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