- Nas partes (a) a (e), suponha que a equação
seja expressa na forma polar
fazendo a substituição
.
(a) Considere
e
como funções de
e
e use derivação implícita para mostrar que
(a) Considere
Passo 1
O exercício pede para usar derivação implícita nas definições de coordenadas polares para achar
e
. O conteúdo é derivação implícita em funções de duas variáveis, e vamos precisar das relações
considerando
e
como funções de
e
.
Passo 2
Diferenciamos implicitamente as duas equações em relação a
, tratando
como constante. Para
temos:
E para
obtemos:
Passo 3
Agora temos o sistema linear nas incógnitas
e
:
Somando a primeira equação vezes
com a segunda vez
faz cair os termos com
e dá
ou seja
.
Passo 4
Para achar
, basta voltar em qualquer uma das equações originais. Usando a primeira:
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Resposta
$\partial r/\partial x = \cos\theta$ e $\partial\theta/\partial x = -\frac{\sin\theta}{r}$