1. Nas partes (a) a (e), suponha que a equação z=f(x, y) seja expressa na forma polar z=g(r, theta) fazendo a substituição x=r cos theta e y=r sen theta.
    (a) Considere r e theta como funções de x e y e use derivação implícita para mostrar que
partial rpartial x=cos theta e partial thetapartial x=-sen thetar

Passo 1

O exercício pede para usar derivação implícita nas definições de coordenadas polares para achar partial r/partial x e partial theta/partial x. O conteúdo é derivação implícita em funções de duas variáveis, e vamos precisar das relações
x = rcostheta, y = rsintheta
considerando r e theta como funções de x e y.

Passo 2

Diferenciamos implicitamente as duas equações em relação a x, tratando y como constante. Para
x = rcostheta temos:
1 = partialpartial x(rcostheta) = partial rpartial xcostheta - rsinthetapartialthetapartial x
E para
y = rsintheta obtemos:
0 = partialpartial x(rsintheta) = partial rpartial xsintheta + rcosthetapartialthetapartial x

Passo 3

Agora temos o sistema linear nas incógnitas A = partial r/partial x e B = partialtheta/partial x:
Acostheta - rsintheta,B = 1, Asintheta + rcostheta,B = 0
Somando a primeira equação vezes costheta com a segunda vez sintheta faz cair os termos com B e dá
A(cos^2theta + sin^2theta) = costheta
ou seja A = costheta.

Passo 4

Para achar B, basta voltar em qualquer uma das equações originais. Usando a primeira:
costheta - rsintheta,B = 1 Longrightarrow rsintheta,B = costheta - 1 = -sin^2theta
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B = partialthetapartial x = -sin^2thetarsintheta = -sinthetar

Resposta

$\partial r/\partial x = \cos\theta$ e $\partial\theta/\partial x = -\frac{\sin\theta}{r}$

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