1. A voltagem V (em volts) em um circuito é dada pela lei de Ohm: V=I R, em que I é a corrente (em ampères) através do circuito e R é a resistência (em ohms). Se dois circuitos com resistências R1 e R2 forem conectados em paralelo, então a resistência combinada R será dada por
1R=1R1+1R2
Suponha que a corrente seja de 3 ampères e esteja crescendo a uma taxa de 10^-2 ampères por segundo, R1 seja 2 ohms e esteja crescendo a uma taxa de 0,4 ohm / s e R2 seja 5 ohms e esteja decrescendo a uma taxa de 0,7 ohm / s. Dê uma estimativa da taxa de variação da voltagem.

Passo 1

O enunciado diz que a voltagem é dada por V = I R e que duas resistências R₁ e R₂ em paralelo satisfazem 1/R=1/R₁+1/R₂. Temos I=3 A com dI/dt=10⁻² A/s, R₁=2 Ω com dR₁/dt=0,4 Ω/s e R₂=5 Ω com dR₂/dt=–0,7 Ω/s. Nosso objetivo é achar dV/dt usando taxas relacionadas.

Passo 2

Começamos escrevendo a voltagem e a relação de resistências:
V=I,R
1R=1R1+1R2
Para obter dV/dt precisamos de dR/dt. Diferenciando em relação ao tempo a relação de 1/R temos:
ddtl(1Rr)=ddtl(1R1+1R2r)

Passo 3

Como d(1/R)/dt= -\frac{1}{R^{2}},dR/dt e similar para R₁ e R₂, chegamos a
-1R^2dRdt=-1R1^2dR1dt-1R2^2dR2dt
que simplifica para
dRdt=R^2l(1R1^2dR1dt+1R2^2dR2dtr)

Passo 4

Calculamos primeiro R no instante dado:
1R=12+15=710Longrightarrow R=107approx1,4286,Omega

Passo 5

Agora obtemos dR/dt:
dR/dt=l(107r)^2l(0,42^2+-0,75^2r)=10049(0,1-0,028)approx0,147,Omega/s

Passo 6

Por fim usamos dV/dt=I,dR/dt+R,dI/dt:
dV/dt=3times0,147+107times0,01approx0,441+0,0143approx0,455,V/s

Resposta

A estimativa para a taxa de variação da voltagem é aproximadamente 0,455 V/s.

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