Se f(x, y) é uma função definida em uma região aberta D na qual f_{x y} e f_{y x} são funções contínuas, o teorema de Clairaut afirma que f_{x y}=f_{y x} em D. Verifique esta relação nos seguintes casos:
f(x, y)=x \operatorname{arctg}(x+y)

Passo 1

O enunciado pede para verificar que, para a função f(x,y)=x\operatorname{arctg}(x+y) definida em uma região aberta D onde as derivadas parciais mistas são contínuas, vale a igualdade \,f_{xy}=f_{yx}\,.
Informações fornecidas:
  • A função é f(x,y)=x\operatorname{arctg}(x+y).
  • Deve-se calcular as derivadas parciais primeiras e as mistas e verificar que elas coincidem.
  • É dito que as derivadas parciais mistas são contínuas em D (isso autoriza usar o teorema de Clairaut), mas aqui faremos a verificação direta por cálculo.

Passo 2

Primeiro passo prático: calcular \,f_x (derivada parcial de f em relação a x).
Vou usar a regra do produto e a regra da cadeia. Defina \,u=x+y. Então \operatorname{arctg}(x+y)=\operatorname{arctg}(u) e \dfrac{d}{du}\operatorname{arctg}(u)=\dfrac{1}{1+u^{2}}.
Aplicando produto (derivando x e mantendo \operatorname{arctg}(u), depois mantendo x e derivando \operatorname{arctg}(u)) e a cadeia para \operatorname{arctg}(u):
f_x=\operatorname{arctg}(x+y)+x\cdot\frac{1}{1+(x+y)^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x+y).
Como \dfrac{\partial}{\partial x}(x+y)=1, obtemos
f_x=\operatorname{arctg}(x+y)+\frac{x}{1+(x+y)^{2}}.

Passo 3

Agora calcule \,f_y (derivada parcial em relação a y).
Aqui x é tratado como constante e apenas \operatorname{arctg}(x+y) depende de y. Usando a regra da cadeia:
f_y=x\cdot\frac{1}{1+(x+y)^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(x+y).
Como \dfrac{\partial}{\partial y}(x+y)=1, segue
f_y=\frac{x}{1+(x+y)^{2}}.

Passo 4

Agora calculamos \,f_{xy}=\dfrac{\partial}{\partial y}(f_x). Partimos da expressão encontrada para f_x:
f_x=\operatorname{arctg}(x+y)+\frac{x}{1+(x+y)^{2}}.
Derivando termo a termo em relação a y:
  • Derivada de \operatorname{arctg}(x+y) em relação a y é \dfrac{1}{1+(x+y)^{2}} (regra da cadeia).
  • Para \dfrac{x}{1+(x+y)^{2}}, x é constante frente a y; a derivada de \dfrac{1}{1+u^{2}} em relação a u é -\dfrac{2u}{(1+u^{2})^{2}} e \dfrac{\partial u}{\partial y}=1. Portanto
\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{x}{1+(x+y)^{2}}\right)=x\cdot\left(-\frac{2(x+y)}{(1+(x+y)^{2})^{2}}\right).
Somando os dois termos:
f_{xy}=\frac{1}{1+(x+y)^{2}}-\frac{2x(x+y)}{(1+(x+y)^{2})^{2}}.
Colocando em um único quociente (denominador comum (1+(x+y)^{2})^{2}):
f_{xy}=\frac{1+(x+y)^{2}-2x(x+y)}{(1+(x+y)^{2})^{2}}.
Expandindo o numerador para simplificar:
1+(x+y)^{2}-2x(x+y)=1+x^{2}+2xy+y^{2}-2x^{2}-2xy=1-x^{2}+y^{2}.
Logo uma forma simplificada é
f_{xy}=\frac{1-x^{2}+y^{2}}{(1+(x+y)^{2})^{2}}.

Passo 5

Agora calculamos \,f_{yx}=\dfrac{\partial}{\partial x}(f_y). Partimos de
f_y=\frac{x}{1+(x+y)^{2}}.
Aplicamos a regra do produto (variando x) ou simplesmente a regra quociente; aqui uso produto considerando x como função de x e \dfrac{1}{1+(x+y)^{2}} como outra função de x:
f_{yx}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x}{1+(x+y)^{2}}\right)=\frac{1}{1+(x+y)^{2}}+x\cdot\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{1+(x+y)^{2}}\right).
A derivada da segunda parte usa a cadeia: \dfrac{\partial}{\partial x}\dfrac{1}{1+u^{2}}=-\dfrac{2u}{(1+u^{2})^{2}}\cdot\dfrac{\partial u}{\partial x} com u=x+y e \dfrac{\partial u}{\partial x}=1. Assim
f_{yx}=\frac{1}{1+(x+y)^{2}}- \frac{2x(x+y)}{(1+(x+y)^{2})^{2}}.
Isto é exatamente a mesma expressão obtida para f_{xy}. Reescrevendo na forma simplificada:
f_{yx}=\frac{1-x^{2}+y^{2}}{(1+(x+y)^{2})^{2}}.

Passo 6

Conclusão e observação sobre continuidade: as expressões de f_{xy} e f_{yx} coincidem ponto a ponto e são funções racionais com denominador (1+(x+y)^{2})^{2}, que é sempre positivo (nunca zero) para todos (x,y)\in\mathbb{R}^{2}. Portanto as derivadas mistas são contínuas em toda a região considerada (por exemplo em D=\mathbb{R}^{2}), e a igualdade \,f_{xy}=f_{yx}\, fica verificada explicitamente por cálculo. Boa — você fez direitinho!

Resposta

\displaystyle f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y)=\frac{1-x^{2}+y^{2}}{\bigl(1+(x+y)^{2}\bigr)^{2}}

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