Se
é uma função definida em uma região aberta
na qual
e
são funções contínuas, o teorema de Clairaut afirma que
em
. Verifique esta relação nos seguintes casos:
Passo 1
O enunciado pede para verificar que, para a função
definida em uma região aberta
onde as derivadas parciais mistas são contínuas, vale a igualdade
.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A função é
. - Deve-se calcular as derivadas parciais primeiras e as mistas e verificar que elas coincidem.
- É dito que as derivadas parciais mistas são contínuas em
(isso autoriza usar o teorema de Clairaut), mas aqui faremos a verificação direta por cálculo.
Passo 2
Primeiro passo prático: calcular
(derivada parcial de
em relação a
).
Vou usar a regra do produto e a regra da cadeia. Defina . Então
e
.
Aplicando produto (derivando e mantendo
, depois mantendo
e derivando
) e a cadeia para
:
Vou usar a regra do produto e a regra da cadeia. Defina
Aplicando produto (derivando
Como
, obtemos
Passo 3
Agora calcule
(derivada parcial em relação a
).
Aqui é tratado como constante e apenas
depende de
. Usando a regra da cadeia:
Aqui
Como
, segue
Passo 4
Agora calculamos
. Partimos da expressão encontrada para
:
Derivando termo a termo em relação a
:
- Derivada de
em relação a é (regra da cadeia). - Para
, é constante frente a ; a derivada de em relação a é e . Portanto
Somando os dois termos:
Colocando em um único quociente (denominador comum
):
Expandindo o numerador para simplificar:
Logo uma forma simplificada é
Passo 5
Agora calculamos
. Partimos de
Aplicamos a regra do produto (variando
) ou simplesmente a regra quociente; aqui uso produto considerando
como função de
e
como outra função de
:
A derivada da segunda parte usa a cadeia:
com
e
. Assim
Isto é exatamente a mesma expressão obtida para
. Reescrevendo na forma simplificada:
Passo 6
Conclusão e observação sobre continuidade: as expressões de
e
coincidem ponto a ponto e são funções racionais com denominador
, que é sempre positivo (nunca zero) para todos
. Portanto as derivadas mistas são contínuas em toda a região considerada (por exemplo em
), e a igualdade
fica verificada explicitamente por cálculo. Boa — você fez direitinho!