Determine a diferencial da função:
w=\sqrt{x+y z}.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine a diferencial da função w=\sqrt{x+y z}.
Informações que o enunciado dá:
  • A função é w=\sqrt{x+y z}.
  • As variáveis independentes são x, y e z.
  • O que se quer é a diferencial total dw, que relaciona os pequenos incrementos dx, dy, dz com o correspondente pequeno incremento em w.

Passo 2

O que é a diferencial total? Vou explicar de forma bem direta e útil para a prova.
Se w=f(x,y,z) é uma função de três variáveis, a diferencial total dw é a aproximação linear da variação de w quando x,y,z sofrem pequenos incrementos dx,dy,dz. A fórmula é
dw=f_x\,dx + f_y\,dy + f_z\,dz,
onde f_x,f_y,f_z são as derivadas parciais de f em relação a x,y,z, respectivamente. Cada termo indica quanto w muda se variar apenas uma variável (as outras ficam fixas), multiplicado pelo pequeno incremento dessa variável.
Essa é uma ferramenta simples e poderosa na prova: primeiro se calculam as derivadas parciais, depois se monta dw.

Passo 3

Reescrevo a função de modo a facilitar a derivação. Defino a função interna
u = x + y z,
então
w = \sqrt{u} = u^{1/2}.
Vou calcular as derivadas parciais usando a regra da cadeia: a derivada de u^{1/2} em relação a u é \tfrac{1}{2}u^{-1/2}. Agora obtenho cada derivada parcial:
  • Derivada parcial em relação a x:
Ao derivar u em relação a x, \dfrac{\partial u}{\partial x}=1 (pois y z é tratado como constante). Assim
f_x = \frac{\partial w}{\partial x} = \frac{1}{2}u^{-1/2}\cdot 1 = \frac{1}{2\sqrt{u}}.
  • Derivada parcial em relação a y:
Ao derivar u em relação a y, \dfrac{\partial u}{\partial y}=z (porque \dfrac{\partial}{\partial y}(y z)=z, tratando z como constante). Assim
f_y = \frac{\partial w}{\partial y} = \frac{1}{2}u^{-1/2}\cdot z = \frac{z}{2\sqrt{u}}.
  • Derivada parcial em relação a z:
Ao derivar u em relação a z, \dfrac{\partial u}{\partial z}=y. Assim
f_z = \frac{\partial w}{\partial z} = \frac{1}{2}u^{-1/2}\cdot y = \frac{y}{2\sqrt{u}}.
Em todas as contas usei a regra da cadeia e a observação de que, por exemplo, ao derivar y z em relação a y o z comporta-se como constante.

Passo 4

Agora monto a diferencial total usando a fórmula do Passo 2:
dw = f_x\,dx + f_y\,dy + f_z\,dz.
Substituindo as derivadas parciais encontradas:
dw = \frac{1}{2\sqrt{u}}\,dx + \frac{z}{2\sqrt{u}}\,dy + \frac{y}{2\sqrt{u}}\,dz.
Lembrando que u=x+yz, fatoro \dfrac{1}{2\sqrt{u}} para simplificar:
dw = \frac{1}{2\sqrt{x+yz}}\left(dx + z\,dy + y\,dz\right).

Passo 5

Interpretação rápida e check mental (útil na prova): a expressão significa que a variação de w vem da variação direta de x (o termo dx) e das variações dos produtos y z (o termo z\,dy + y\,dz), tudo multiplicado pelo coeficiente \dfrac{1}{2\sqrt{x+yz}} que vem da derivada da raiz quadrada. Alternativamente, poderia ter-se usado diretamente a cadeia: dw = \dfrac{1}{2\sqrt{u}}\,du com du=dx+z\,dy+y\,dz, e chega-se ao mesmo resultado.

Resposta

dw=\frac{1}{2\sqrt{x+yz}}\bigl(dx+z\,dy+y\,dz\bigr)

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