Determine a diferencial da função:
.
Passo 1
O enunciado pede que eu determine a diferencial da função
.
Informações que o enunciado dá:
- A função é
. - As variáveis independentes são
, e . - O que se quer é a diferencial total
, que relaciona os pequenos incrementos , , com o correspondente pequeno incremento em .
Passo 2
O que é a diferencial total? Vou explicar de forma bem direta e útil para a prova.
Se
é uma função de três variáveis, a diferencial total
é a aproximação linear da variação de
quando
sofrem pequenos incrementos
. A fórmula é
onde
são as derivadas parciais de
em relação a
, respectivamente. Cada termo indica quanto
muda se variar apenas uma variável (as outras ficam fixas), multiplicado pelo pequeno incremento dessa variável.
Essa é uma ferramenta simples e poderosa na prova: primeiro se calculam as derivadas parciais, depois se monta
.
Passo 3
Reescrevo a função de modo a facilitar a derivação. Defino a função interna
então
Vou calcular as derivadas parciais usando a regra da cadeia: a derivada de
em relação a
é
. Agora obtenho cada derivada parcial:
- Derivada parcial em relação a
:
Ao derivar
em relação a
,
(pois
é tratado como constante). Assim
- Derivada parcial em relação a
:
Ao derivar
em relação a
,
(porque
, tratando
como constante). Assim
- Derivada parcial em relação a
:
Ao derivar
em relação a
,
. Assim
Em todas as contas usei a regra da cadeia e a observação de que, por exemplo, ao derivar
em relação a
o
comporta-se como constante.
Passo 4
Agora monto a diferencial total usando a fórmula do Passo 2:
Substituindo as derivadas parciais encontradas:
Lembrando que
, fatoro
para simplificar:
Passo 5
Interpretação rápida e check mental (útil na prova): a expressão significa que a variação de
vem da variação direta de
(o termo
) e das variações dos produtos
(o termo
), tudo multiplicado pelo coeficiente
que vem da derivada da raiz quadrada. Alternativamente, poderia ter-se usado diretamente a cadeia:
com
, e chega-se ao mesmo resultado.