ONDE g é CONTINUA EM R.
Descreva as curvas de nível de
.
Descreva as curvas de nível de
Passo 1
O enunciado pede para descrever as curvas de nível de
, onde
é contínua em
. O que queremos é o lugar geométrico dos pontos
tais que
, isto é, integrar a noção de derivadas parciais e antiderivada para achar a condição implícita.
Passo 2
Como
é contínua em
, existe uma primitiva
de
. Definimos por exemplo
Então, usando propriedades de integrais, temos
Passo 3
Logo, a condição de nível
vira
o que é a forma implícita das curvas de nível.
Passo 4
Se
não muda de sinal em
, então
é estritamente monotônica e invertível. Assim podemos isolar
e escrever cada curva de nível como
Passo 5
Geometricamente, para
obtemos
, ou seja
. Para
, são curvas que se “deslocam” da diagonal no plano
, subindo ou descendo conforme o sinal de
e de
.
Resposta
As curvas de nível de
são dadas implicitamente por
ou, quando
é invertível,
onde
é uma primitiva de
.