f(x, y)=integralx^y g(t) d t ONDE g é CONTINUA EM R.
Descreva as curvas de nível de f(x, y).

Passo 1

O enunciado pede para descrever as curvas de nível de f(x,y)=integralx^yg(t),dt, onde g é contínua em R. O que queremos é o lugar geométrico dos pontos (x,y) tais que f(x,y)=c, isto é, integrar a noção de derivadas parciais e antiderivada para achar a condição implícita.

Passo 2

Como g é contínua em R, existe uma primitiva F de g. Definimos por exemplo
F(t)=integral0^tg(s),ds
Então, usando propriedades de integrais, temos
f(x,y)=integralx^yg(t),dt=F(y)-F(x)

Passo 3

Logo, a condição de nível f(x,y)=c vira
F(y)-F(x)=c,
o que é a forma implícita das curvas de nível.

Passo 4

Se g não muda de sinal em R, então F é estritamente monotônica e invertível. Assim podemos isolar
F(y)=F(x)+c
e escrever cada curva de nível como
y=F^-1l(F(x)+cr)

Passo 5

Geometricamente, para c=0 obtemos F(y)=F(x), ou seja y=x. Para cneq0, são curvas que se “deslocam” da diagonal no plano (x,y), subindo ou descendo conforme o sinal de c e de g.

Resposta

As curvas de nível de f são dadas implicitamente por
F(y)-F(x)=c,
ou, quando F é invertível,
y=F^-1l(F(x)+cr),
onde F é uma primitiva de g.

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