f(x, y)=e^x y ln y
Descreva as curvas de nível de f(x, y).

Passo 1

O enunciado pede para descrever as curvas de nível da função f(x,y)=e^xyln y. O conteúdo envolvido são curvas de nível de funções de duas variáveis e vamos precisar usar a definição de nível: f(x,y)=c para constantes c.

Passo 2

Para traçar as curvas de nível, fixamos um valor cinR e escrevemos
e^xyln y = c
Podemos isolar ln y multiplicando ambos os lados por e^-xy:
ln y = c,e^-xy

Passo 3

Como ln y só está definido para y>0, e e^-xy>0 sempre, o sinal de ln y coincide com o de c. Logo:
• Se c>0, então ln y>0 e temos y>1.
• Se c<0, então ln y<0 e temos 0.
• Se c=0, então ln y=0 e a curva de nível é a reta horizontal y=1.

Passo 4

Para cneq0 podemos também expressar x como função de y. Da equação e^xyln y=c vem
xy = lngl(cln ygr), portanto
$$x = \frac{1}{y};\ln!
\Bigl(\tfrac{c}{\ln y}\Bigr),$$ com a restrição de domínio em x = 1y;ln! l(tfraccln yr), conforme o sinal de y.

Resposta

As curvas de nível são os conjuntos de pontos (x,y) que satisfazem
Para c=0:
y=1
Para cneq0:
e^xyln y = c
ou, de forma explícita,
x = 1ylngl(cln ygr),
onde
– se c>0, então y>1;
– se c<0, então 0.

Exercícios relacionados