Seja f(x, y)=2 x^2+y^2. Faça o que se pede.
Ache as equações paramétricas da reta tangente à curva de nível 12 no ponto p.

Passo 1

O enunciado pede pra achar as equações paramétricas da reta tangente à curva de nível 12 de f(x,y)=2x^2+y^2 no ponto p. O conteúdo aqui envolve curvas de nível e uso do gradiente para determinar a normal e, assim, a direção da reta tangente.

Passo 2

A curva de nível 12 de f é dada por 2x^2+y^2=12 Seja o ponto p=(x0,y0) sobre essa curva, ou seja, satisfazendo 2x0^2+y0^2=12

Passo 3

Calculamos o gradiente de f, que é sempre normal à curva de nível:
nabla f(x,y)=l(partial fpartial x,partial fpartial yr)=(4x,2y)
Em p isso vale
nabla f(p)=(4x0,2y0)

Passo 4

Para obter o vetor direção v da reta tangente, escolhemos um vetor ortogonal a nabla f(p). Uma escolha conveniente é
v=(-2y0,,4x0),
pois
(-2y0,4x0)cdot(4x0,2y0)=-8x0y0+8x0y0=0

Passo 5

Finalmente, escrevemos as equações paramétricas da reta que passa por p=(x0,y0) com direção v:
x(t)=x0-2y0,t,
y(t)=y0+4x0,t

Resposta

As equações paramétricas da reta tangente são
x(t)=x0-2y0,t,
y(t)=y0+4x0,t,
onde (x0,y0) satisfaz 2x0^2+y0^2=12.

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