f(x, y)=l k e^-(x+2 y), x>0, y>0 0, caso contrário á
(a) Quanto vale k ?

Passo 1

Beleza, olha só o que a gente tem aqui: uma função de densidade conjunta
f(x,y)= k,e^-(x+2y),&x>0, y>0, 0,&caso contrário á
Isso é do assunto de probabilidades contínuas, mais especificamente normalização de uma densidade conjunta. O que precisamos é usar a regra de que toda densidade deve integrar 1 em todo o espaço . Então vamos precisar montar a integral dupla de sobre e e igualar a 1 pra encontrar .

Passo 2

Primeiro, escrevemos a condição de normalização:
integral dupla-infty^infty f(x,y),dx,dy ;=;1
Como integraly=0^infty!integralx=0^infty k,e^-(x+2y),dx,dy ;=;1 fora de , isso vira

Passo 3

Agora, vamos separar a integral em k integraly=0^infty l(integralx=0^infty e^-x,dxr); e^-2y,dy ;=;1 e em integral0^infty e^-x,dx = l[-e^-xr]0^infty = 1 , já que integral0^infty e^-2y,dy = l[-tfrac12e^-2yr]0^infty = tfrac12 e k times (1)timesl(tfrac12r) = 1 Longrightarrow k2 = 1 é constante:
  1. Integral em :
  1. Integral em :
Então a normalização fica

Resposta

k = 2.

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