Seja a variável bidimensional (X, Y) com função distribuição de probabilidade
P(X=x, Y=y)=l k(x+y), x=1,2,3, y=1,2 0, caso contrário á
X e Y são correlacionadas?

Passo 1

Beleza, a questão diz que temos uma variável discreta em dois “eixos” (X, Y) cuja probabilidade conjunta é
P(X=x, Y=y) = k,(x+y), & x=1,2,3,;y=1,2, 0, & caso contrário á
O que pedem é descobrir se X e Y são correlacionadas.
Conteúdo: probabilidade discreta, esperança, covariância e correlação.
O que vamos precisar:
  • Achar o valor de k usando a soma das probabilidades = 1.
  • Calcular as distribuições marginais de X e de Y.
  • Calcular , e .
  • Calcular a covariância . Se ela for diferente de zero, dizemos que há correlação.

Passo 2

Normalização para achar k.
Precisamos de
sumx=1^3sumy=1^2 P(X=x,Y=y)=1 Longrightarrow sumx=1^3sumy=1^2 k,(x+y)=1
Calculemos a soma interna:
sumx=1^3sumy=1^2 (x+y) =sumx=1^3l[(x+1)+(x+2)r] =sumx=1^3(2x+3)
Para kcdot21=1 Longrightarrow k=121 isso dá .
Logo

Passo 3

Calcular PX(x)=sumy=1^2P(x,y) =121l[(x+1)+(x+2)r] =2x+321 e E[X] =sumx=1^3 x,PX(x) =sumx=1^3 x;2x+321 =121sumx=1^3(2x^2+3x) .
Primeiro a marginal de X:
sum(2x^2+3x)=2cdot14+3cdot6=28+18=46 Longrightarrow E[X]=4621
Então
PY(y)=sumx=1^3P(x,y) =121sumx=1^3(x+y) =6+3y21,
Calculemos:
E[Y] =sumy=1^2y,PY(y) =121l[1,(6+3)+2,(6+6)r] =9+2421 =3321 =117 e , logo
Agora a marginal de Y:
pois .

Passo 4

Calcular E[XY] =sumx=1^3sumy=1^2xy,P(x,y) =121sumx=1^3sumy=1^2xy,(x+y) e a covariância.
E[XY]=7221=247
Listando rapidamente cada termo Cov(X,Y) =E[XY]-E[X],E[Y] =247-4621cdot117 :
x=1,y=1→2; 1,2→6; 2,1→6; 2,2→16; 3,1→12; 3,2→30.
Somando: Cov(X,Y) =504147-506147 =-2147neq0 .
Covariância:
Calculemos o produto:
.
E . Então

Resposta

Como , concluímos que X e Y são correlacionadas (negativamente, no caso).

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