Seja a variável bidimensional
com função distribuição de probabilidade
e
são correlacionadas?
Passo 1
Beleza, a questão diz que temos uma variável discreta em dois “eixos” (X, Y) cuja probabilidade conjunta é
O que pedem é descobrir se X e Y são correlacionadas.
Conteúdo: probabilidade discreta, esperança, covariância e correlação.
O que vamos precisar:
Conteúdo: probabilidade discreta, esperança, covariância e correlação.
O que vamos precisar:
- Achar o valor de k usando a soma das probabilidades = 1.
- Calcular as distribuições marginais de X e de Y.
- Calcular
, e . - Calcular a covariância
. Se ela for diferente de zero, dizemos que há correlação.
Passo 2
Normalização para achar k.
Precisamos de
Precisamos de
Calculemos a soma interna:
Para
isso dá
.
Logo
Logo
Passo 3
Calcular
e
.
Primeiro a marginal de X:
Primeiro a marginal de X:
Então
Calculemos:
e
, logo
Agora a marginal de Y:
pois
.
Passo 4
Calcular
e a covariância.
Listando rapidamente cada termo
:
x=1,y=1→2; 1,2→6; 2,1→6; 2,2→16; 3,1→12; 3,2→30.
Somando: .
x=1,y=1→2; 1,2→6; 2,1→6; 2,2→16; 3,1→12; 3,2→30.
Somando:
Covariância:
Calculemos o produto:
.
E . Então
E
Resposta
Como
, concluímos que X e Y são correlacionadas (negativamente, no caso).