Seja a variável bidimensional
com função distribuição de probabilidade
Encontre o vetor de médias e a matriz de variâncias e covariâncias de
.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma variável aleatória bidimensional
com
O que queremos é o vetor de médias
e a matriz de variâncias e covariâncias
.
Para isso, vamos precisar de:
Para isso, vamos precisar de:
- A constante de normalização
. - As expectativas
. - As fórmulas
,
.
Passo 2
Primeiro, achamos
usando a soma de todas as probabilidades igual a 1:
Como
e
,
Logo
e
Passo 3
Agora calculamos
. Por definição,
De novo,
e
,
então
então
Passo 4
De modo parecido,
Aqui
e
, então
Passo 5
Para
, precisamos de
:
logo
Então
Passo 6
Para
, achamos
:
porque
. Então
Passo 7
Para a covariância, precisamos de
:
Então
Resposta
Vetor de médias:
Matriz de variâncias e covariâncias:
[
]