Seja a variável bidimensional (X, Y) com função distribuição de probabilidade
P(X=x, Y=y)=l k(x y), x=1,2,3, y=1,2 0, caso contrário á
Encontre o vetor de médias e a matriz de variâncias e covariâncias de (X, Y).

Passo 1

O enunciado diz que temos uma variável aleatória bidimensional P(X=x, Y=y) = k,(x,y), & x=1,2,3,;y=1,2, 0, & caso contrário com
Var(X)&Cov(X,Y)Cov(X,Y)&Var(Y)á
O que queremos é o vetor de médias e a matriz de variâncias e covariâncias
.
Para isso, vamos precisar de:
  1. A constante de normalização .
  2. As expectativas .
  3. As fórmulas
    ,
    .

Passo 2

Primeiro, achamos sumx=1^3sumy=1^2 P(X=x,Y=y) = ksumx=1^3sumy=1^2 (x,y) =1 usando a soma de todas as probabilidades igual a 1:
sumx=1^3sumy=1^2 x,y = l(sumx=1^3 xr),l(sumy=1^2 yr) =6cdot3=18
Como boxedk = 118 e ,
Logo e

Passo 3

Agora calculamos E[X] = sumx=1^3sumy=1^2 x;P(X=x,Y=y) = sumx=1^3sumy=1^2 x;118(x,y) = 118sumx=1^3sumy=1^2 x^2,y . Por definição,
E[X] = 118,(14cdot3) = 4218 = 73
De novo, e ,
então

Passo 4

De modo parecido,
E[Y] = sumx=1^3sumy=1^2 y;P(X=x,Y=y) = 118sumx=1^3sumy=1^2 x,y^2 = 118l(sumx=1^3 xr)l(sumy=1^2 y^2r)
Aqui E[Y] = 118,(6cdot5) = 3018 = 53 e , então

Passo 5

Para E[X^2] = sumx,y x^2,P(X=x,Y=y) = 118sumx=1^3sumy=1^2 x^3,y = 118l(sumx=1^3 x^3r)l(sumy=1^2 yr) , precisamos de Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = 6 - l(tfrac73r)^2 = 6 - tfrac499 = tfrac54-499 = tfrac59 :
e ,
logo
Então

Passo 6

Para E[Y^2] = 118sumx=1^3sumy=1^2 x,y^3 = 118l(sumx=1^3 xr)l(sumy=1^2 y^3r) = 118(6cdot9) =3, , achamos Var(Y) = 3 - l(tfrac53r)^2 = 3 - tfrac259 = tfrac27-259 = tfrac29 :
porque . Então

Passo 7

Para a covariância, precisamos de E[XY] = sumx,y x,y,P(X=x,Y=y) = 118sumx=1^3sumy=1^2 x^2,y^2 = 118l(sumx=1^3 x^2r)l(sumy=1^2 y^2r) = 118(14cdot5) = 7018 = 359 :
Cov(X,Y) = E[XY] - E[X],E[Y] = 359 - 73cdot53 = 359 - 359 = 0
Então

Resposta

Vetor de médias:
l(E[X],E[Y]r) = l(tfrac73,,tfrac53r)
Matriz de variâncias e covariâncias:
[
Var(X) & Cov(X,Y)[6pt] Cov(X,Y) & Var(Y) = tfrac59 & 0[6pt] 0 & tfrac29

.
]

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