Seja a variável bidimensional (X, Y) com função densidade de probabilidade
f(x, y)=l k x^2(4-y), xá
X e Y são correlacionadas?

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a densidade conjunta
f(x,y)= k,x^2(4-y),&xá
e queremos saber se e são correlacionadas.
Conteúdo: densidade conjunta, constante de normalização, esperança, covariância e correlação.
O que vamos precisar:
  1. Achar garantindo .
  2. Calcular , e via integrais.
  3. Montar .
    Se , existe correlação.

Passo 2

Encontrar 1=integral duplaregião k,x^2(4-y),dy,dx, pela condição
integraly=x^2x x^2(4-y),dy = x^2l[4y-tfracy^22r]y=x^2x =4x^3-tfrac32x^4 ã
onde a “região” é integral0^2l(4x^3-tfrac32x^4r)dx =16-tfrac485 =tfrac325 e kcdottfrac325=1 Longrightarrow k=tfrac532 .
  1. Integramos em :
  1. Agora em :
Portanto

Passo 3

Calcular E(X) =integral dupla x,f(x,y),dy,dx =kintegral0^2integralx^2xx^3(4-y),dy,dx .
E(X) =tfrac532integral0^2l(4x^4-tfrac32x^5r)dx =tfrac532cdottfrac485 =tfrac32
Já sabemos , então

Passo 4

Calcular E(Y) =kintegral0^2integralx^2xy,x^2(4-y),dy,dx .
integralx^2xy(4-y),dy =6x^4-tfrac73x^5(já incorporando (x^2) fora)
Fazendo a integral em E(Y) =tfrac532integral0^2l(6x^4-tfrac73x^5r)dx =tfrac532cdottfrac60845 =tfrac199 :
á
Então

Passo 5

Calcular E(XY) =kintegral0^2integralx^2xx^3,y,(4-y),dy,dx .
integralx^2xy(4-y),dy =6x^5-tfrac73x^6(já com (x^3) fora)
A integral em E(XY) =tfrac532integral0^2l(6x^5-tfrac73x^6r)dx =tfrac532cdottfrac643 =tfrac103
á
Logo

Passo 6

Montar a covariância:
Cov(X,Y) =E(XY)-E(X),E(Y) =tfrac103-l(tfrac32cdottfrac199r) =tfrac103-tfrac196 =tfrac16neq0

Resposta

Como , e são correlacionadas.

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