1. Se f(x, y) L quando (x, y) tender a (0,0) ao longo do eixo x e se f(x, y) L quando (x, y) tender a (0,0) ao longo do eixo y, então lim (x, y) (0,0) f(x, y)=L.

Passo 1

O enunciado diz que se f(x,y)to L ao longo do eixo x e ao longo do eixo y quando (x,y)to(0,0), então o limite bidimensional lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=L. O conteúdo é limites de funções de duas variáveis e precisamos ver se checar só dois caminhos garante o limite.

Passo 2

Para refutar a afirmação, vamos apresentar um contraexemplo: escolher uma função que dê L ao longo dos eixos, mas um valor diferente em outra direção.
Definimos a função
f(x,y)= dfracxyx^2+y^2, & (x,y)neq(0,0), 0, & (x,y)=(0,0)

Passo 3

Ao longo do eixo x temos y=0, então
f(x,0)=xcdot0x^2+0^2=0to0
e along eixo y com x=0
f(0,y)=0to0
Logo nesses caminhos o limite é 0.

Passo 4

Agora examine a reta y=x. Para xneq0:
f(x,x)=xcdot xx^2+x^2=x^22x^2=tfrac12totfrac12
Como obtemos 0 nos eixos mas 1/2 em y=x, o limite não é único e, portanto, a afirmação é falsa.

Resposta

A afirmação é falsa.

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