- Se
quando
tender a
ao longo do eixo
e se
quando
tender a
ao longo do eixo
, então
.
Passo 1
O enunciado diz que se
ao longo do eixo
e ao longo do eixo
quando
, então o limite bidimensional
. O conteúdo é limites de funções de duas variáveis e precisamos ver se checar só dois caminhos garante o limite.
Passo 2
Para refutar a afirmação, vamos apresentar um contraexemplo: escolher uma função que dê
ao longo dos eixos, mas um valor diferente em outra direção.
Definimos a função
Definimos a função
Passo 3
Ao longo do eixo
temos
, então
e along eixo
com
Logo nesses caminhos o limite é
.
Passo 4
Agora examine a reta
. Para
:
Como obtemos
nos eixos mas
em
, o limite não é único e, portanto, a afirmação é falsa.
Resposta
A afirmação é falsa.