- Texto Com suas próprias palavras, dê a interpretação geométrica da definição
de
dada na Definição 13.2.1.
Passo 1
O enunciado pede para explicar, com palavras nossas e usando geometria, a definição ε–δ do limite de duas variáveis \
. Vamos usar conceitos de vizinhança no plano (domínio) e de intervalo na reta (valores de f).
Passo 2
Para entender a definição, note que:
A vizinhança no domínio é o disco de raio
centrado em
:
A vizinhança no contradomínio é o intervalo aberto de comprimento
em torno de
:
A definição diz que, para todo
, existe um
tal que se
cai em
(mas
), então seu valor
cai em
.
Passo 3
Geometricamente isso significa que podemos “aproximar” tanto a projeção de
no plano quanto a altura
sobre uma superfície: um disco vertical de raio
em torno de
projeta-se na superfície de
e fica contido dentro de uma faixa horizontal limitada pelos planos
e
. Isto garante que, ao “entrar” no disco no domínio, “subimos” ou “descemos” na superfície, mas sem sair da faixa de altura
.
Resposta
Geometricamente, dado qualquer tubo horizontal de espessura
em torno do plano
, podemos ajustar um cilindro vertical de raio
centrado em
tal que toda parte da superfície
acima desse cilindro fique dentro do tubo. Isso caracteriza exatamente o limite
.