1. Texto Com suas próprias palavras, dê a interpretação geométrica da definição epsilon e de de
lim (x, y) (x0, y0) f(x, y)=L
dada na Definição 13.2.1.

Passo 1

O enunciado pede para explicar, com palavras nossas e usando geometria, a definição ε–δ do limite de duas variáveis \ lim(x,y)to(x0,y0)f(x,y)=L. Vamos usar conceitos de vizinhança no plano (domínio) e de intervalo na reta (valores de f).

Passo 2

Para entender a definição, note que:
A vizinhança no domínio é o disco de raio de centrado em (x0,y0):
Dde
A vizinhança no contradomínio é o intervalo aberto de comprimento 2epsilon em torno de L:
Iepsilon = (L-epsilon,,L+epsilon)
A definição diz que, para todo epsilon>0, existe um de0 tal que se (x,y) cai em Dde (mas (x,y)neq(x0,y0)), então seu valor f(x,y) cai em Iepsilon.

Passo 3

Geometricamente isso significa que podemos “aproximar” tanto a projeção de (x,y) no plano quanto a altura z=f(x,y) sobre uma superfície: um disco vertical de raio de em torno de (x0,y0) projeta-se na superfície de f e fica contido dentro de uma faixa horizontal limitada pelos planos z=L-epsilon e z=L+epsilon. Isto garante que, ao “entrar” no disco no domínio, “subimos” ou “descemos” na superfície, mas sem sair da faixa de altura Lpmepsilon.

Resposta

Geometricamente, dado qualquer tubo horizontal de espessura 2epsilon em torno do plano z=L, podemos ajustar um cilindro vertical de raio de centrado em (x0,y0) tal que toda parte da superfície z=f(x,y) acima desse cilindro fique dentro do tubo. Isso caracteriza exatamente o limite lim(x,y)to(x0,y0)f(x,y)=L.

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