Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte questão:
Esse problema está dentro do conteúdo de limites em várias variáveis, uma parte da matemática que estuda o comportamento de funções com mais de uma variável quando essas variáveis se aproximam de certos valores. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre como lidar com limites em três dimensões e utilizar algumas propriedades das funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar nossa análise. Observa que no denominador temos
, que é igual a
, onde
representa a distância do ponto
até a origem
no espaço tridimensional.
Então, podemos reescrever o limite em termos de
:
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento da função
quando
se aproxima de 0. Sabemos que para valores próximos de 0, a função seno pode ser aproximada pela sua série de Taylor:
Isso significa que, para
muito pequeno,
é aproximadamente igual a
.
Passo 4
Substituindo essa aproximação na nossa expressão, temos:
Agora, analisando o que acontece quando
se aproxima de 0:
Isso porque conforme
fica cada vez menor,
cresce sem limite.
Passo 5
Portanto, concluímos que o limite não é um número real finito, mas sim que tende ao infinito positivo.
Resposta
O limite é igual a
.