1. lim (x, y) (0,0) 4 x-ysen y-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite lim (x, y) (0,0) 4x - ysin y - 1. Esse exercício está dentro da matéria de limites em múltiplas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como as funções se comportam quando x e y se aproximam de 0 e aplicar alguns conceitos de limites básicos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador e o denominador separadamente. No numerador, temos 4x - y. Conforme x e y se aproximam de 0, 4x e y também se aproximam de 0. Portanto, o numerador tende a 0.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o denominador sin y - 1. Sabemos que quando y se aproxima de 0, sin y pode ser aproximado pela sua série de Taylor: sin y approx y - y^36. Assim, sin y - 1 approx y - 1. À medida que y se aproxima de 0, y - 1 tende para -1.

Passo 4

Agora que sabemos que o numerador tende a 0 e o denominador tende a -1, podemos substituir esses valores no limite:
lim (x, y) (0,0) 4x - ysin y - 1 = 0-1 = 0

Resposta

O limite é igual a 0.

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