Se X e Y são variáveis aleatórias com densidade conjunta
f(x, y)=cl x5+c y, & 0á
X e Y são correlacionadas?

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que temos duas variáveis aleatórias f(x,y)= dfracx5+c,y, & 0 e com densidade conjunta
á
E a pergunta é: “ e são correlacionadas?”
Conteúdo: densidade conjunta, normalização de densidade, marginais, esperança, covariância e correlação.
O que vamos precisar:
  • Encontrar via .
  • Calcular as densidades marginais e .
  • Calcular , e .
  • Obter . Se for diferente de zero, há correlação.

Passo 2

Normalização para achar integral dupla0:
tfrac25+12c=1 Longrightarrow 12c=tfrac35 Longrightarrow c=tfrac360=tfrac120
Separamos em duas integrais:

  1. Somando e igualando a 1:

Passo 3

Agora as marginais:

Passo 4

Esperanças:

Passo 5

Agora E[XY] =integral dupla xyl(tfracx5+c,yr),dy,dx =underbracetfrac15!integral0^1x^2dx!integral1^5y,dy4/5 ;+;underbracec!integral0^1x,dx!integral1^5y^2,dy31/30 =tfrac45+tfrac3130 =tfrac116 e a covariância:
Cov(X,Y) =E[XY]-E[X],E[Y] =tfrac116-l(tfrac1730timestfrac4915r) =tfrac825450-tfrac833450 =-tfrac8450 =-tfrac4225neq0
Então

Resposta

Sim, e são correlacionadas, pois .

Exercícios relacionados