As variáveis aleatórias
e
tem função densidade conjunta
caso contrário. Determine o vetor de médias e a matriz de variâncias e covariâncias de
.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos duas variáveis contínuas
e
com densidade conjunta
e zero fora disso. A tarefa é:
- Encontrar o vetor de médias
. - Encontrar a matriz de variâncias e covariâncias
Para isso vamos precisar lembrar como calcular marginais, esperanças, variâncias e covariância via integrais de densidade.
Passo 2
Primeiro a gente pega a densidade marginal de
:
Do mesmo jeito, a marginal de
é
Passo 3
Agora, expectativa de
:
Para
:
Então
Passo 4
Agora
. Primeiro
Depois
Logo
Passo 5
Falta a covariância:
A gente separa:
Então
Resposta
Vetor de médias:
Matriz de variâncias e covariâncias:
[
]