As variáveis aleatórias X e Y tem função densidade conjunta
f(x, y)=12 x y(1-x), 0
f(x, y)=0 caso contrário. Determine o vetor de médias e a matriz de variâncias e covariâncias de (X, Y).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos duas variáveis contínuas f(x,y)=12,x,y,(1-x), 0 e Var(X) & Cov(X,Y) Cov(X,Y)& Var(Y) com densidade conjunta
e zero fora disso. A tarefa é:
  • Encontrar o vetor de médias .
  • Encontrar a matriz de variâncias e covariâncias
Para isso vamos precisar lembrar como calcular marginais, esperanças, variâncias e covariância via integrais de densidade.

Passo 2

Primeiro a gente pega a densidade marginal de fX(x)=integral0^1f(x,y),dy =integral0^112,x,y,(1-x),dy =12,x,(1-x)integral0^1y,dy =12,x,(1-x)cdot12 =6,x,(1-x) :
fY(y)=integral0^112,x,y,(1-x),dx =12,yintegral0^1x(1-x),dx =12,yl(tfrac12-tfrac13r) =12,ycdottfrac16 =2,y
Do mesmo jeito, a marginal de é

Passo 3

Agora, expectativa de E[X]=integral0^1x,fX(x),dx =integral0^1xcdot6x(1-x),dx =6!integral0^1(x^2-x^3),dx =6l(tfrac13-tfrac14r) =6cdottfrac112 =tfrac12 :
E[X^2]=integral0^1x^2cdot6x(1-x),dx =6!integral0^1(x^3-x^4),dx =6l(tfrac14-tfrac15r) =6cdottfrac120 =tfrac310
Para Var(X)=E[X^2]-l(E[X]r)^2 =tfrac310-l(tfrac12r)^2 =tfrac310-tfrac14 =tfrac120 :
Então

Passo 4

Agora E[Y]=integral0^1ycdot2y,dy =2!integral0^1y^2,dy =2cdottfrac13 =tfrac23 . Primeiro
E[Y^2]=integral0^1y^2cdot2y,dy =2!integral0^1y^3,dy =2cdottfrac14 =tfrac12
Depois
Var(Y)=E[Y^2]-l(E[Y]r)^2 =tfrac12-l(tfrac23r)^2 =tfrac12-tfrac49 =tfrac118
Logo

Passo 5

Falta a covariância:
E[XY] =integral dupla[0,1]^2x,y,f(x,y),dx,dy =integral dupla[0,1]^2 x,ycdot12x,y,(1-x),dx,dy
A gente separa:
E[XY] =12integral0^1!integral0^1x^2,y^2,(1-x),dy,dx =12integral0^1x^2(1-x)l(integral0^1y^2,dyr)dx =12cdottfrac13integral0^1x^2(1-x),dx =4integral0^1(x^2-x^3),dx =4l(tfrac13-tfrac14r) =4cdottfrac112 =tfrac13
Então

Resposta

Vetor de médias:
l(E[X],,E[Y]r) =l(tfrac12,;tfrac23r)

Matriz de variâncias e covariâncias:
[

Var(X) & Cov(X,Y) Cov(X,Y)& Var(Y) = tfrac120 & 0 0 & tfrac118 .
]

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