Se
e
são variáveis aleatórias com densidade conjunta
e
são correlacionadas?
Passo 1
Beleza, a questão diz que temos duas v.a.
e
com densidade conjunta
e pergunta se
e
são “correlacionadas” (isto é, se existe correlação entre elas).
Conteúdo: teoria de variáveis aleatórias contínuas – marginal, independência/dependência e correlação (covariância).
O que vamos precisar:
Conteúdo: teoria de variáveis aleatórias contínuas – marginal, independência/dependência e correlação (covariância).
O que vamos precisar:
- Calcular as densidades marginais
e . - Ver se
(teste de independência). - Se não fôr, elas são dependentes (correlacionadas).
Passo 2
Primeiro a gente obtém a marginal de
:
Isso mostra que
.
Passo 3
Agora a marginal de
:
Lembrando que
, com
,
Passo 4
Teste de independência: se fossem independentes, teríamos
Mas a nossa
é
, que não bate com
. Ou seja, não factoriza num produto de algo só de
vezes algo só de
.
Passo 5
Como a densidade conjunta não se escreve como produto das marginais,
e
não são independentes. E não-independência implica dependência, ou seja, elas são correlacionadas.
Resposta
Sim,
e
são correlacionadas, pois sua densidade conjunta não se separa em
.