Se X e Y são variáveis aleatórias com densidade conjunta
f(x, y)=cl x e^-x(y+1), & x>0, y>0 0, & caso contrário á
X e Y são correlacionadas?

Passo 1

Beleza, a questão diz que temos duas v.a. f(x,y)= x,e^-x(y+1),&x>0,;y>0, 0,&caso contrário, e com densidade conjunta
á
e pergunta se e são “correlacionadas” (isto é, se existe correlação entre elas).
Conteúdo: teoria de variáveis aleatórias contínuas – marginal, independência/dependência e correlação (covariância).
O que vamos precisar:
  1. Calcular as densidades marginais e .
  2. Ver se (teste de independência).
  3. Se não fôr, elas são dependentes (correlacionadas).

Passo 2

Primeiro a gente obtém a marginal de fX(x)=integral0^infty x,e^-x(y+1),dy =x,e^-xintegral0^inftye^-x y,dy =x,e^-x,1x =e^-x, x>0 :
Isso mostra que .

Passo 3

Agora a marginal de fY(y)=integral0^infty x,e^-x(y+1),dx :
fY(y)=1(y+1)^2, y>0
Lembrando que , com ,

Passo 4

Teste de independência: se fossem independentes, teríamos
f(x,y)stackrel?=fX(x),fY(y) =;e^-x;cdot;1(y+1)^2
Mas a nossa é , que não bate com
. Ou seja, não factoriza num produto de algo só de vezes algo só de .

Passo 5

Como a densidade conjunta não se escreve como produto das marginais, e não são independentes. E não-independência implica dependência, ou seja, elas são correlacionadas.

Resposta

Sim, e são correlacionadas, pois sua densidade conjunta não se separa em .

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