Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias, utilizando o método dos coeficientes indeterminados:
y^prime prime prime+y^prime prime=e^t cos t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária $ y’’’ + y’’ = e^{t} \cos t $ usando o método dos coeficientes indeterminados. Esse método é útil para encontrar soluções particulares de equações diferenciais lineares quando o lado direito é semelhante a funções que já conhecemos, como exponenciais, senos ou cossenos. Para isso, precisamos primeiro encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: $ y’’’ + y’’ = 0 $. Para isso, assumimos que a solução tem a forma $ y = e^{rt} $. Substituindo na equação, temos:
y''' + y'' = 0
Como $ e^{rt} $ nunca é zero, temos que $ r^3 + r^2 = 0 $. Fatorando, obtemos:
y = e^rt
Então, as raízes são $ r = 0 $ (de multiplicidade 2) e $ r = -1 $.

Passo 3

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
yh(t) = C1 + C2 t + C3 e^-t
Onde $ C_1 $, $ C_2 $ e $ C_3 $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se fornecidas).

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_p(t) $ para a equação completa $ y’’’ + y’’ = e^{t} \cos t $ usando o método dos coeficientes indeterminados. Como o lado direito é $ e^{t} \cos t $, assumimos uma solução da forma:
yp(t)
Onde $ A $ e $ B $ são coeficientes que precisamos determinar.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas de $ y_p(t) $:
Primeira derivada:
yp(t)
Segunda derivada:
yp' = e^t(A cos t + B sin t) + e^t(-A sin t + B cos t) = e^t[(A + B) cos t + (B - A) sin t]
yp'' = e^t[(A + B) cos t + (B - A) sin t] + e^t[(- (A + B) sin t + (B - A) cos t)]
Terceira derivada:
= e^t[(A + B - (A + B)) cos t + (B - A - (A + B)) sin t] = e^t[-2A sin t]

Passo 6

Substituindo $ y_p $, $ y_p’’ $ e $ y_p’’’ $ na equação $ y’’’ + y’’ = e^{t} \cos t $:
yp
yp''
yp'''

Passo 7

Igualando os coeficientes de $ \cos t $ e $ \sin t $ dos dois lados:
Para $ \cos t $:
cos t
Para $ \sin t $:
sin t
Aqui percebemos um conflito, o que indica que nossa suposição inicial para $ y_p(t) $ está na solução da equação homogênea. Isso acontece porque $ e^{t} \cos t $ não é uma solução da homogênea. Portanto, precisamos multiplicar nossa hipótese por $ t $:
cos t

Passo 8

Calculando novamente as derivadas de $ y_p(t) = t e^{t}(A \cos t + B \sin t) $, substituindo na equação e resolvendo para $ A $ e $ B $. Após os cálculos, encontraremos:
yp(t) = t e^t(A cos t + B sin t)

Passo 9

Então, a solução particular é:
yp(t) = 110 t e^t cos t - 110 t e^t sin t

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 + C2 t + C3 e^-t + 110 t e^t (cos t - sin t)
Onde $ C_1 $, $ C_2 $ e $ C_3 $ são constantes arbitrárias.

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