Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias, utilizando o método dos coeficientes indeterminados:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária $ y’’’ + y’’ = e^{t} \cos t $ usando o método dos coeficientes indeterminados. Esse método é útil para encontrar soluções particulares de equações diferenciais lineares quando o lado direito é semelhante a funções que já conhecemos, como exponenciais, senos ou cossenos. Para isso, precisamos primeiro encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: $ y’’’ + y’’ = 0 $. Para isso, assumimos que a solução tem a forma $ y = e^{rt} $. Substituindo na equação, temos:
Como $ e^{rt} $ nunca é zero, temos que $ r^3 + r^2 = 0 $. Fatorando, obtemos:
Então, as raízes são $ r = 0 $ (de multiplicidade 2) e $ r = -1 $.
Passo 3
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde $ C_1 $, $ C_2 $ e $ C_3 $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se fornecidas).
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_p(t) $ para a equação completa $ y’’’ + y’’ = e^{t} \cos t $ usando o método dos coeficientes indeterminados. Como o lado direito é $ e^{t} \cos t $, assumimos uma solução da forma:
Onde $ A $ e $ B $ são coeficientes que precisamos determinar.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas de $ y_p(t) $:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Passo 6
Substituindo $ y_p $, $ y_p’’ $ e $ y_p’’’ $ na equação $ y’’’ + y’’ = e^{t} \cos t $:
Passo 7
Igualando os coeficientes de $ \cos t $ e $ \sin t $ dos dois lados:
Para $ \cos t $:
Para $ \sin t $:
Aqui percebemos um conflito, o que indica que nossa suposição inicial para $ y_p(t) $ está na solução da equação homogênea. Isso acontece porque $ e^{t} \cos t $ não é uma solução da homogênea. Portanto, precisamos multiplicar nossa hipótese por $ t $:
Passo 8
Calculando novamente as derivadas de $ y_p(t) = t e^{t}(A \cos t + B \sin t) $, substituindo na equação e resolvendo para $ A $ e $ B $. Após os cálculos, encontraremos:
Passo 9
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C_1 $, $ C_2 $ e $ C_3 $ são constantes arbitrárias.