Encontrar a direção u no qual
crece bem rapido em
. Quanto é rapido?
.
Passo 1
O enunciado pede a direção em que a função cresce mais rápido em
e qual é essa taxa de crescimento. Na teoria de cálculo vetorial, sabemos que essa direção é dada pelo vetor gradiente de
em
e que a rapidez máxima é o módulo desse gradiente.
Passo 2
Calcular o gradiente de
As derivadas parciais são
logo
Passo 3
Avaliar o gradiente em
. Como
, temos
Passo 4
Encontrar a direção unitária
. Primeiro o módulo:
Então
Passo 5
A rapidez máxima de aumento é exatamente o módulo do gradiente em
:
Resposta
A direção de crescimento mais rápido é
e a rapidez máxima nesse ponto é