Encontrar a direção u no qual f crece bem rapido em P=(1,2). Quanto é rapido?
f(x, y)=e^x-y.

Passo 1

O enunciado pede a direção em que a função cresce mais rápido em P=(1,2) e qual é essa taxa de crescimento. Na teoria de cálculo vetorial, sabemos que essa direção é dada pelo vetor gradiente de f em P e que a rapidez máxima é o módulo desse gradiente.

Passo 2

Calcular o gradiente de
f(x,y)=e^x-y
As derivadas parciais são
partial fpartial x=e^x-y, partial fpartial y=-,e^x-y,
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nabla f(x,y)=l(e^x-y,,-e^x-yr)

Passo 3

Avaliar o gradiente em P=(1,2). Como x-y=1-2=-1, temos
nabla f(1,2)=l(e^-1,,-e^-1r)

Passo 4

Encontrar a direção unitária u. Primeiro o módulo:
|nabla f(1,2)| =raiz(e^-1)^2+(-e^-1)^2 =raiz2,e^-2 =e^-1raiz2
Então
u =nabla f(1,2)|nabla f(1,2)| =l(e^-1,-e^-1r)e^-1raiz2 =l(tfrac1raiz2,,-tfrac1raiz2r)

Passo 5

A rapidez máxima de aumento é exatamente o módulo do gradiente em P:
max D!uf(1,2) =|nabla f(1,2)| =e^-1raiz2

Resposta

A direção de crescimento mais rápido é
u=l(tfrac1raiz2,,-tfrac1raiz2r)
e a rapidez máxima nesse ponto é
e^-1raiz2

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