Se é a altura de uma montanha na posição , em que direção, partindo de se deveria caminhar para subir a montanha mais rapidamente?
Passo 1
Então, temos um exercício onde a altura de uma montanha é dada pela função . A pergunta é: em qual direção, partindo do ponto (1,0), a gente deve caminhar para subir a montanha mais rápido? Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função de duas variáveis, como a nossa , é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função. Ou seja, se a gente quer subir a montanha o mais rápido possível a partir de um ponto, a direção do gradiente nesse ponto é a direção que a gente deve seguir.
Passo 3
Para encontrar o gradiente, temos que calcular as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando apenas uma variável muda, mantendo a outra constante.
Calculando a derivada parcial em relação a :
Já a derivada parcial em relação a :
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto específico (1,0). Substituindo e nas derivadas que encontramos:
Assim, o gradiente no ponto (1,0) é:
Passo 5
A direção de subida mais rápida é a direção do gradiente. No nosso caso, o gradiente é ||nabla f|| = raiz(4e)^2 + 0^2 = 4e . Para encontrar a direção unitária (ou seja, apenas a direção, sem considerar o tamanho), normalizamos esse vetor dividindo por sua magnitude.
A magnitude do gradiente é:
( 4e4e, 04e ) = (1, 0)
Então, a direção unitária é:
Isso significa que a direção de subida mais rápida é na direção positiva do eixo .
Resposta
A direção para subir a montanha mais rapidamente a partir do ponto (1, 0) é na direção positiva do eixo , ou seja, na direção .