Utilize Multiplicadores de Lagrange para responder as questões abaixo. Escreva o processo etalhadamente.
Sejam alpha, beta e gamma os ângulos de um triângulo. Determinar o valor máximo de f(alpha, beta, gamma)=cos (alpha) cos (beta) cos (gamma) e determine os ângulos para os quais o máximo ocorre.

Passo 1

A questão quer maximizar f(alpha,beta,gamma)=cos(alpha)cos(beta)cos(gamma) sob a restrição de que alpha+beta+gamma=pi, isto é, usar multiplicadores de Lagrange para encontrar extremos de uma função com restrição. Vamos precisar do conceito de Lagrangiana e das condições de contorno (ângulos de triângulo).

Passo 2

Definimos a Lagrangiana como L(alpha,beta,gamma,lambda)=cos(alpha)cos(beta)cos(gamma)-lambdal(alpha+beta+gamma-pir). As condições de primeiro ordem pedem as derivadas parciais iguais a zero:
partialLpartialalpha=-sin(alpha)cos(beta)cos(gamma)-lambda=0,
partialLpartialbeta=-sin(beta)cos(alpha)cos(gamma)-lambda=0,
partialLpartialgamma=-sin(gamma)cos(alpha)cos(beta)-lambda=0,
e ainda a condição da restrição alpha+beta+gamma=pi.

Passo 3

Subtraindo (ou igualando) as três equações, obtemos
sin(alpha)cos(beta)cos(gamma)=sin(beta)cos(alpha)cos(gamma)
que implica
tan(alpha)=tan(beta)
De modo análogo vem tan(beta)=tan(gamma). Como todos os ângulos estão em (0,pi) e resultam de um triângulo, concluímos
alpha=beta=gamma

Passo 4

Substituindo na restrição alpha+beta+gamma=pi temos 3alpha=pi, logo alpha=beta=gamma=tfracpi3.
Para esses valores,
fmax=cosl(tfracpi3r)cosl(tfracpi3r)cosl(tfracpi3r)=l(tfrac12r)^3=tfrac18

Resposta

O valor máximo de f é 1/8, obtido quando alpha=beta=gamma=pi/3.

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