Utilize Multiplicadores de Lagrange para responder as questões abaixo. Escreva o processo etalhadamente.
Sejam
e
os ângulos de um triângulo. Determinar o valor máximo de
e determine os ângulos para os quais o máximo ocorre.
Sejam
Passo 1
A questão quer maximizar
sob a restrição de que
, isto é, usar multiplicadores de Lagrange para encontrar extremos de uma função com restrição. Vamos precisar do conceito de Lagrangiana e das condições de contorno (ângulos de triângulo).
Passo 2
Definimos a Lagrangiana como
. As condições de primeiro ordem pedem as derivadas parciais iguais a zero:
e ainda a condição da restrição
.
Passo 3
Subtraindo (ou igualando) as três equações, obtemos
que implica
De modo análogo vem
. Como todos os ângulos estão em
e resultam de um triângulo, concluímos
Passo 4
Substituindo na restrição
temos
, logo
.
Para esses valores,
Para esses valores,
Resposta
O valor máximo de
é
, obtido quando
.