Seja f: R^2 R definida por
f(x, y)= x y(x^2-y^2)x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
Prove que fx(0,0) e fy(0,0) existem e que f é diferenciável em (0,0).

Passo 1

A função f é dada por
f(x,y)=xy,(x^2-y^2)x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0)0,&(x,y)=(0,0)
O conteúdo aqui é cálculo de derivadas parciais e diferenciabilidade em R^2. Vamos usar a definição de derivada parcial e a definição direta de diferenciabilidade.

Passo 2

Para calcular fx(0,0), aplicamos a definição
fx(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h
Como em (h,0) temos y=0 e então
f(h,0)=hcdot0,(h^2-0^2)h^2+0^2=0,
segue
fx(0,0)=limhto00-0h=0

Passo 3

Para fy(0,0), de modo análogo,
fy(0,0)=limkto0f(0,k)-f(0,0)k
Em (0,k) temos x=0 e
f(0,k)=0cdot k,(0^2-k^2)0^2+k^2=0,
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fy(0,0)=limkto00-0k=0

Passo 4

Para mostrar que f é diferenciável em (0,0), usamos a definição direta: como as derivadas parciais valem zero, a melhor aproximação linear é L(x,y)=0. Precisamos ver que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)-L(x,y)raizx^2+y^2=0
Note que para (x,y)neq(0,0)
|f(x,y)|=|xy(x^2-y^2)x^2+y^2|<=|xy|,(x^2+y^2)x^2+y^2=|xy|
Também vale a desigualdade de média-aritmética:
|xy|<=x^2+y^22
Então
|f(x,y)raizx^2+y^2|<=x^2+y^22raizx^2+y^2=raizx^2+y^22to0,
quando (x,y)to(0,0). Isso mostra que o resto é o(raizx^2+y^2) e, portanto, f é diferenciável em (0,0).

Resposta

As derivadas parciais em (0,0) são fx(0,0)=0 e fy(0,0)=0, e a função é diferenciável em (0,0).

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