Se f(x, y)=x^2+y^2, determine f(x+h, y)-f(x, y)h e f(x, y+h)-f(x, y)h, com h neq 0

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x²+y² e pede os quocientes de diferença nas direções de x e de y. Isso está ligado à definição de derivada parcial: usamos f(x+h,y)–f(x,y) sobre h e f(x,y+h)–f(x,y) sobre h.

Passo 2

Para a variação em x, calculamos f(x+h,y). Temos
f(x+h,y)=(x+h)^2+y^2=x^2+2xh+h^2+y^2
Subtraindo f(x,y)=x{2}+y{2}, o numerador fica 2xh+h^{2}. Dividindo por h (h≠0) dá 2x+h.

Passo 3

Para a variação em y, calculamos f(x,y+h). Temos
f(x,y+h)=x^2+(y+h)^2=x^2+y^2+2yh+h^2
Subtraindo f(x,y)=x{2}+y{2}, o numerador é 2yh+h^{2}. Dividindo por h dá 2y+h.

Resposta

f(x+h,y)-f(x,y)h=2x+h e f(x,y+h)-f(x,y)h=2y+h

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